Mashg’ulot

Teorema. (Originalning yagonaligi) Agar va funksiyalarning tasvirlari o’zaro teng bo’lsa, bu funksiyalar uzluksiz bo’ladigan barcha nuqtalarda ustma ust tushadi.
Laplas almashtirishi quyidagi xossalarga ega.
Agar va bo’lsa, u holda
1. Chiziqlilik-ixtiyoriy va kompleks sonlari uchun

3
. 2-Misol.
2. O’xshashlik-ixtiyoriy uchun

( )

3-Misol. bo’lganligi uchun

bo’ladi.
3. Siljish-ixtiyoriy o’zgarmas son uchun bo’ladi.
4-Misol. bo’lganligi uchun
bo’ladi.
4. Originalni differensiallash- bu originalning hosilalari bo’lsa, u holda

_Agar ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅_{bo’lsa, so’ngi formula soddalashib}

ko’rinishga keladi. Xususan 5-Misol.
► Ma’lumki,
differensiallash teoremasini qo’llasak

yoki

5. Tasvirni differensiallash-
6-Misol.

funksiyaning tasvirini toping.
. Agar bu yerda originalni

|

. ◄

bo’lganligi uchun

( )

( )

6. Originalni integrallash-

7-Misol. integralning tasvirini toping.

►Tasvirni quyidagi ketma-ketlikda topamiz: a) funksiyaning tasviri .
b) tasvirni differensiallash xossasiga ko’ra

( )

4

c) Originalni integrallash xossasiga ko’ra hosil qilingan ifodani ifodaga bo’lsak, integralning tasvirini topgan bo’lamiz:

7. Tasvirni integrallash- Agar original bo’lsa, u holda

8-Misol. ►Ma’lumki
ko’ra
funksiyaning tasvirini toping.
. U holda tasvirni integrallash xossasiga

|

munosabatga ega bo’lamiz.◄
8. Originalning kechikish xossasi-ixtiyoriy uchun

9-Misol. bo’ganligi uchun

bo’ladi.
va funksiyalarning ko’rinishda belgilanadigan o’ramasi deb

tenglik bilan aniqlanadigan funksiyaga aytiladi.