Масъул муҳаррир: Файзиев Шохруд Фармонович, ю ф. д., доцент

17
Уч ўлчовли Ли алгебраси 
Мўминов Улуғбек Рахимжонович 
Фарғона давлат университети ўқитувчиси 
Телефон: [phone] 
[e-mail] 
 
Аннотация 
Бу ишда уч ўлчовли Ли алгебрасининг чизиқли тасвири баён етилган бўлиб, юзага 
келган 
m
v
векторлар ёрдамида 
V
векторнинг 
 
1
1
n
m m
v


базис элементлари учун
алмаштириш қонунлари келтирилган. 
Таянч сўз ва иборалар: Вектор, фазо, вазн, базис , индукция , тенглик, элемент, 
метод, йиғинди , муносабат, тасвир. 
Ли алгебраси 
A
ни 
V
фазога акслантирувчи чизиқли тасвир
:
( )
A
gl V


берилган 
бўлсин. Бу ҳолда 

тасвир фиксрланган бўлса, у ҳолда 
( )
a x

ни қулайлик учун 
ax
деб 
ёзамиз. Бу ерда 
,
a A

x V

. 
1-таъриф.
o
v
вектор вазни 

га тенг бўлган бош вектор дейилади, агар 
0
o
v 
ва 
0
o
E v


, 
o o
o
E v
v


бўлса. Чекли ўлчовли
V
вектор фазо учун 
n
o
v
x

вектор
n
 
вазн билан бош вектор эканлигини кўриш қийин эмас: 
0 0,
n
o
E v
x
x
x
y



  

1
0
(
)
0
n
n
n
n
n
o o
E v
x
y
x
x
x
y
x
x n x
y
n x
nv
x
y
x
y









  
   





. 
Фараз қилайлик, 
1
,
!
m
m
o
v
E v
m o
m



бўлсин. У ҳолда, қуйидаги муносабатлар 
келиб чиқади: 
1
1
;
n
n
o
v E v
y
x
nx y
x







2
1
2 2
2
1
1
1
(
1)
(
)
(
)
;
2!
2!
2!
2!
n
n
o
o
n n
v
E v
E E v
E nx y
x y











...............................................................................


1
1 ( 1)... ( 1)
.
!
!
m
n m m
m
o
v
E v
n n
n m
x y
m
m







Барча 
( )
V V n

вектор фазони 
2
( )
...
n
n
n
V n V
V
V




 
тўғри йиғинди 
кўринишида ёзиш мумкин. Юзага келган 
m
v
векторлар ёрдамида 
V
векторнинг 
 
1
1
n
m m
v


базис элементлари учун алмаштириш қонунини кўрсaтамаиз.
1-масала. 
:
( )
A
gl V


- Ли алгебраси А ни 
( )
gl V
га ўтказувчи тасвир берилган 
бўлсин. 
( )
, ( )
, ( )
o
o
E
E
E
E
E
E










лар учун қуйидаги муносабатлар ўринли 
бўлади:
1
1) ( )
(
1)
;
k
k
E v
k
v





2) ( )
(
2 ) ;
o
k
k
E v
n
k v



1
3) ( )
(
1)
;
1,..., .
k
k
E v
n k
v
k
n




 

УЧ ЎЛЧОВЛИ ЛИ АЛГЕБРАСИ
Мўминов Улуғбек Рахимжонович
Фарғона давлат университети ўқитувчиси
Телефон: [phone]
[e-mail]

---

225
17
Исбот. 
0
n
o
v
x


вазни 
n
га тенг бўлган бош вектор, яъни 
0
o
E v


, 
n
o o
o
E v
nx
v



.


,
2
o
E E
E


 
муносабатга кўра: 
2
2
2
2
2
,
o
o
o
o
o
o
o
E E
E E
E E
E E
E E E
E E E E E










 












(
)
(
)
,
,
o
o
o
o
o
o
E E
E E E
E E E E E
E E E
E E E

















2
2
2
4
E E
E E
E
 
 

 

 
муносабатга эга бўламиз. Математик индукция методидан фойдалансак,
,
2
,
1,...,
k
k
o
E E
kE
k
n



  



эканлиги келиб чиқади. Бу ердан эса
2
(
2 )
k
k
k
k
o
o
o
E E
E E
kE
E E
k








муносабат келиб чиқади. Бу тенгликдан фойдаланиб,
1
1
1
1
(
)
(
2 )
(
2 )
!
!
!
!
k
k
k
k
o k
o
o
o
o
o
o
o o
o
E v
E
E v
E E v
E E
k v
E E v
kv
k
k
k
k











1
1
1
(
2 )
(
2 )
(
2 )
(
2 ) .
!
!
!
k
k
k
o
o
o
o
k
E nv
kv
E n
k v
n
k
E v
n
k v
k
k
k











(
2 )
o k
k
E v
n
k v


тенгликка эга бўламиз. 1-масаланинг иккинчи муносабати исбот 
бўлди. 
Энди 1-масаланинг учинчи муносабатини исботлаймиз. 
1
k 
бўлганда


,
o
E E
E



тенглик исботланган. Агар 
2
k 
бўлса, у ҳолда 
2
2
2
2
2
,
E E
E E
E E
E E
E E E
E E E
E E


 


 
  
  



 












(
)
(
)
,
,
E E
E E E
E E E
E E
E E E
E E E
 
 


 
 













(
) 2
o
o
o
o
o
o
o
o
o
E E
E E
E E
E E
E E
E E
E E
E E
E E





















,
2
2
2
2 (
1)
o
o
o
o
E E
E E
E
E E
E E







 



тенглик келиб чиқади. Математик индукция методидан фойдаланиб, қуйидаги
муносабатга эга бўламиз. 
1
,
(
1),
1,...,
1
k
k
o
E E
kE
E k
k
n





 
 




.
Бу ердан эса
1
1
2
(
1)
(
)
k
k
k
k
o
o
E E
E E
E
E k
E
E E
kE k
k


 




 


  



тенгликка эга бўламиз. Бу тенгликдан фойдаланиб, 
1
2
1
1
1
(
)
(
)
!
!
!
k
k
k
k
o
o
o
o
E v
E
E v
E E v
E
E E
kE k
k v
k
k
k




 

 







1
2
1
2
1
1
(
)
(
)
!
!
k
k
o
o o
o
o
o
o
o
E
E E v kE v k v kv
E
knv k v kv
k
k



 









1
2
1
1
1
(
)
(
1)
!
(
1)!
k
k
o
o
E
kn k
k v
kE
n k
v
k
k
k








 

 
1
1
1
(
1)
(
1)
,
(
1)!
k
o
k
n k
E v
n k
v
k




 

 

1,..., .
k
n

1
( )
(
1)
,
1,...,
k
k
E v
n k
v
k
n




 

тенгликнинг исботига эга бўламиз. 
1-масаланинг учинчи муносабати исбот бўлди. 
Энди биринчи муносабатни исботлаймиз. Бунинг учун

---

226
17


,
2
o
E E
E


 
тенгликдан ва индукция методига кўра исботланган
2
k
k
k
o
o
E E
E E
kE




 
тенгликдан фойдаланамиз. У ҳолда


1
,
2
o
E
E E


 
,
(
2 )
k
k
o
o
E E
E E
k






1
1
1
,
(
)
2
2
!
k
k
o
k
o
o
o
E v
E E v
E E
E E
E v
k





 
 






1
1
1
1 1
1 1
(
)
2(
1)
(
2 )
2 !
2 !
k
k
k
k
o
o
o
o
o
o
o
o
E E v
E E E v
E
E
k
v E
E
k v
k
k









 
 







1
1
1
1
1
1 1
2
2
2
2 !
k
k
k
k
k
o
o
o
E E
kE
E
E E
kE
v
k










 





1
1
1
1
1 1
1
1
( 2
)
(
1)
(
1)
2 !
!
(
1)!
k
k
k
o
o
o
k
E
v
E v
k
E v
k
v
k
k
k







 







, 
1
(
1)
k
k
E v
k
v




тенглик келиб чиқади. Демак 
 
1
1
n
m m
v


- 
( )
V n
да базис бўлади. 1-
масала тўла исбот бўлди. Бу машқдан қуйидаги хосса келиб чиқади.