Mat-analiz pdf


Download 100.72 Kb.
Pdf ko'rish
bet1/7
Sana31.01.2024
Hajmi100.72 Kb.
#1830614
  1   2   3   4   5   6   7
Bog'liq
mat-analiz1



O’ZBEKISTON REPUBLIKASI OLIY 
TA’LIM,FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI 
MIRZO ULUG’BEK NOMIDAGIO’ZBEKISTON 
MILLIY UNVERSITETINING JIZZAX FILALI 
AMALIY MATEMATIKA FAKULTETI 
AXBOROT XAVFSIZLIGI YONALISHI 
MATEMATIK ANALIZ FANIDAN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MUSTAQIL 
ISH
 
Bajardi: Aliqobilov Inomjon 
Tekshirdi: Almuratov Firdavs 


Reja: N1 
1.Ratsional sonlar 
2.Iratsional sonlar 
3.Kasr sonning o’nlik yozuvi 
Reja: N2 
1.lemmas haqida 
2.Isbotlar 
3.Lemma qoidalari 
Reja: N3 
1.Limit haqida tushuncha 
2.Limit haqida teoremalar 
3.Limitga ega bo’lgan funksiyalarning xossalari 
Reja: N4 
1.Funksiyaning uzluksizlik modul tushunchasi 
2.Qavariq funksiya tarifi 
3.Uzluksiz moduli va uning xossalari 
Reja: N5 
1. 
Lopital teoremasi 
2. 
Aniqmasliklarni ochishda lopital qoidalari 
3.Teylor-Makleron Formulalari 


Ratsional sonlar. Ushbu qisqarmaydigan kasr ko’rinishida 
tasvirlangan har bir son ratsional son deyiladi. Barcha ratsional 
sonSlar to’plami Q harfi bilan belgilaymiz. 
Yuqorida p va n sonlar 1 dan boshqa umumiy bo’luvchilari 
yo’qligini (p,n)=1 belgi bilan ifodalaymiz. Shunday qilib, 
Ratsional sonlarning yuqorida keltirilgan ta’rifi quyidagi ta’rifga 
ekvivalent: cheksiz davriy o’nli kasr ko’rinishida 
tasvirlanadigan har qanday son ratsional son deyiladi. Shuni 
takidlash lozimki, to’plamdagi bir xil elementlar uning bitta 
elementi sifatida olinganidek Q to’plamda ham bir-biriga teng 
bo’lgan ratsional bitta element deb qaraladi. Ratsional sonlar 
to’plami Q ham butun sonlar to’plami kabi tartiblangan. 
Ratsional sonlar to’plamidagi eng kichik element ham, eng katta 
element ham mavjud emas. Ratsional sonlar to’plamida 
qo’shish, ayirish, ko’paytirishdan tashqari bo’lish (nol 
bo’lmagan songa) amali ham kiritiladi va bu amallarga nisbatan 
quydagi xossalar o’rinlidir

bu xossalarda t,s va r lar ixtiyoriy ratsional sonlar.) 
10. Kommutativlik: r+t=t+r, rt=tr 
20.Assotsiativlik: (r+t)+s=r+(t+s), (r·t)·s=r·(s·t) 
30. Distributivlik: (r+t)·s=r·s+t·s 
40. Nol sonining xususiyati: r+0=r, r·0=0 
50. Bir sonining xususiyati: r·1=r 
60. Qarama-qarshi elementning mavjudligi: uchun shunday soni 
mavjudki, r+(-r)=0 bo’ladi. 
70. Teskari elementning mavjudligi: soni uchun shunday son mavjudki 
r·r-1=1 bo’ladi. 
80. sonlar uchun r>t bo’lganda r+s>t+s bo’ladi. 


90. sonlar uchun r>t bo’lganda r·s>t·s bo’ladi. 
100. Ixtiyoriy ikki musbat r va t ratsional sonlar uchun shunday natural 
son n mavjudki n·r>t bo’ladi. Bu xossa odatda Arximed aksiomasi ham 
deb yuritiladi. 
Irratsional sonlar - ratsionalmas, yaʼni kasr bilan aniq, ifodalab 
boʻlmaydigan sonlar. I. s. davriymas cheksiz oʻnli kasrlar bilan 
ifodalanadi. Irratsional nisbatlarning mavjudligi (mas, kvadrat 
diagonalining tomoniga nisbati) qadim zamonlarda ham maʼlum 
boʻlgan. "Ix." atamasi birinchi marta 16-asr da paydo boʻlgan. Ammo 
izchil I. s. nazariyani 19-asr 2-yarmida nemis matematigi R. Dedekind 
va b. olimlar ishlab chiqqan. 
Irratsional sonlarning xossalari. 
2 ta manfiy bo'lmagan irratsional sonlar yig'indisi ratsional son bo'lishi 
mumkin. 
Irratsional sonlar ratsional sonlar to‘plamidagi Dedekind bo‘limlarini 
belgilaydi, ularning quyi sinfida eng katta son, yuqori sinfda esa undan 
kichiki yo‘q. 
Har bir haqiqiy transsendental son irratsional sondir. 
Barcha irratsional sonlar algebraik yoki transsendent hisoblanadi. 
Irratsional sonlar to'plami hamma joyda raqamlar chizig'ida zich 
joylashgan: har bir juft son o'rtasida irratsional son mavjud. 
Irratsional sonlar to‘plamidagi tartib haqiqiy transsendental sonlar 
to‘plamidagi tartib bilan izomorf. 
Irratsional sonlar toʻplami cheksiz, 2-toifali toʻplamdir. 
Ratsional sonlar ustidagi har bir arifmetik amalning natijasi (0 ga 
bo'lishdan tashqari) ratsional sondir. Irratsional sonlar ustidagi arifmetik 
amallarning natijasi ratsional yoki irratsional son bo‘lishi mumkin. 
Ratsional va irratsional sonning yig'indisi har doim irratsional son 
bo'ladi. 
Irratsional sonlar yig'indisi ratsional son bo'lishi mumkin. Misol uchun, 
bo'lsin x mantiqsiz, keyin y=x*(-1) ham mantiqsiz; x+y=0, va raqam 0 


ratsional (agar, masalan, har qanday 7 darajaning ildizini qo'shsak va etti 
darajaning ildizini ayirib tashlasak, biz 0 ratsional sonini olamiz). 
O'nli kasrlarni o'qish 
Keling, o'nli kasrlarni o'qish qoidalari haqida bir necha so'z aytaylik. 
Oddiy oddiy kasrlarga to'g'ri keladigan o'nlik kasrlar, xuddi shu oddiy 
kasrlar singari o'qiladi, oldindan faqat "nol butun sonlar" qo'shiladi. 
Masalan, 0,12 kasr kasr oddiy 12/100 kasrga to'g'ri keladi ("o'n ikki 
yuzinchi" o'qing), shuning uchun 0,12 "o'n ikki yuzinchi nol nuqta" ni 
o'qiydi. 
Aralashgan sonlarga mos keladigan o'nlik kasrlar aynan shu aralash 
sonlar singari o'qiladi. Masalan, kasr 56.002 - bu aralash son, shuning 
uchun 56.002 kasrda "ellik olti nuqta ikki minginchi qism" o'qiladi. 
O'nli joylar 
O'nli kasrlarni belgilashda, shuningdek, tabiiy sonlarni belgilashda har 
bir raqamning ma'nosi uning joylashishiga bog'liq. Darhaqiqat, 0,3 
kasrdagi 3 raqami uchdan o'ntani, o'nlik kasrda 0,0003 - uch o'ninchi 
qismni va o'nlik kasrda 30000152 - uch o'n mingni anglatadi. Shunday 
qilib, biz gaplashishimiz mumkin kasrli kasrlar, shuningdek, haqida 
natural sonlardagi raqamlar. 
O'nli kasrdagi raqamlarning kasrga qadar nomlari tabiiy sonlardagi 
raqamlarning nomlari bilan to'liq mos keladi. 
Kasrlarning ikki turi mavjud - ma'noda, butun sonlarni yozishning ikki 
shakli. 
Oddiy (yoki vertikal) 1/2 yoki 237/5 kabi kasrlar. 
0,5 yoki 47,4 kabi o'nlik kasrlar. 
E'tibor bering, umuman olganda, kasr-yozuvidan foydalanish yozilgan 
narsa kasr sonini anglatmaydi, masalan 3/3 yoki 7.0 - so'zning birinchi 
ma'nosida kasrlar emas, balki ikkinchisida, albatta, kasrlar. 
Matematikada, umuman olganda, qadimgi davrlardan boshlab o'nlik 
sanash qabul qilingan va shuning uchun kasr kasrlari oddiylarga 
qaraganda qulayroq. 


Lemmas haqida 
Haqiqiy chiziq segmentini qamrab oluvchi har qanday cheksiz 
intervallar tizimidan ushbu segmentni ham qamrab oluvchi chekli quyi 
tizimni tanlash mumkin. 
Bu taklifni ko'p o'lchovli holatga umumlashtirish Geyne-Borel lemmasi 
deb ham ataladi 
Geyne-Borel lemmasini umumiy holatda shakllantirish uchun biz 
qoplama tushunchasini kiritamiz. 
Toplamlar tizimi: 
indeksi qandaydir A to'plamdan o'tsa, X to'plamning qoplami deyiladi, 
agar 
Agar qoplamning bir qismi, masalan , - ning kichik to’plami, o'zi X 
to'plamining qoplamini tashkil qiladi, shunaqada - ning kichik qoplami 
deyiladi. 
Agar qoplamning bir qismi, masalan , - ning kichik to’plami, o'zi X 
to'plamining qoplamini tashkil qiladi, shunaqada - ning kichik qoplami 
deyiladi. 
Agar qoplamning bir qismi, masalan , - ning kichik to’plami, o'zi X 
to'plamining qoplamini tashkil qiladi, shunaqada - ning kichik qoplami 
deyiladi. 
Lemma 
fazoda X yopiq cheklangan to‘plam bo‘lsin. X to'plamini qamrab olgan 
har qanday ochiq to'plamlar tizimidan bo'lganda, X to'plamini ham 
qamrab oladigan chekli quyi tizimni ajratib ko'rsatishimiz mumkin. 
Qisqacha aytganda, ular shunday deyishadi: fazosidagi yopiq 
chegaralangan to'plamning har bir ochiq qopqog'ida cheklangan pastki 
qopqoq mavjud. Qopqoq ochiq to'plamlardan iborat bo'lsa, ochiq 
deyiladi 


Isbot_Ulardan_kamida_bittasini_dan_chekli_intervalli_quyi_tizim_qam 
rab_olmaydi._Keling,_uni_deb_nomlaymiz_va_buning_uchun_ikkiga_b 
olinish_jarayonini_takrorlaymiz. Isbot'>Isbot 
Bu isbot Bolzano usuli (bisektsiya) bilan amalga oshiriladi va uyalangan 
segmentlar bo'yicha Koshi-Kantor lemmasiga asoslanadi. Ko'p jihatdan 
chegara nuqtasida Bolzano-Weierstrass lemmasining isbotiga o'xshaydi. 
Isbot 
Segment cheksiz intervallar tizimi bilan qoplansin. Faraz qilaylik, dan 
chekli oraliqlar berilgan segmentni qamrab olmaydi. segmentini ikkita 
teng segmentga boʻling: va . 
Isbot 
Ulardan kamida bittasini dan chekli intervalli quyi tizim qamrab 
olmaydi. Keling, uni deb nomlaymiz va buning uchun ikkiga bo'linish 
jarayonini takrorlaymiz. 
Isbot 
Har bir bosqichda segmentlarni yarmiga bo'lishda davom etib, biz 
uzunligi nolga moyil bo'lgan ichki o'rnatilgan segmentlar ketma-ketligini 
olamiz, shunday qilib, bu ketma-ketlikning har bir segmentini dan chekli 
sonli intervallar bilan qoplab bo'lmaydi. 
Isbot 
Ammo agar segmentlar qisqarish nuqtasi bo'lsa, u holda segmentda 
yotganligi sababli, u tizimining qandaydir intervalga kiritilishi kerak . 
Isbot 
Keyin ketma-ketlikning barcha segmentlari, qaysidir sondan boshlab, 
oraliq bilan qoplanadi, bu esa ushbu segmentlarning tanlanishiga zid 
keladi. Olingan qarama-qarshilik Geyne-Borel lemmasining to'g'riligini 
isbotlaydi. 


1. Umumiy qoidalar. Ish muqobil toʻplamlar nazariyasi aksiomatikasi 
boʻyicha olib borilgan va Aptorning ushbu nazariya doirasida 
matematik tahlil asoslarini asoslash boʻyicha maqolalari turkumini 
davom ettiradi. Barcha pierdaylar qurilgan poydevor tuzilmalari, 
ratsional sonlar sinfi Q. NCQ natural sonlar sinfi boʻlsin. ACN 
ning bo‘sh bo‘lmagan kichik sinfini if (Va ê Al a C A.) segmenti 
deb ataymiz, ya’ni u N sinfining boshlang‘ich qismidir.N ustida 
berilgan amal, agar ixtiyoriy aÊ A uchun to'g'ri bo'lsa. A. Xususan, 
agar amal qo'shish bo'lsa, u holda ko'paytirish ko'paytma bo'lsa, 
segment qo'shimcha deb ataladi. Kiritilgan segmentga asoslanib, 
biz sinfni aniqlaymiz BQ(A) Q (Ja A chaqiradigan munosabatlarni quramiz.Biz A-identifikatsiyadan 
foydalanamiz:(2~4y) ((VA) - 
Agar A segmenti qo'shimcha bo'lsa, u holda tuzilgan munosabat 
relyatsion spinLTOUTHO hisoblanadi.Ish muqobil to'plam nazariyasida 
olib boriladi. Aksiomatikadagi har bir giper-roal tuzilma N sinfidagi 
natural sonlar kesimiga asoslanadi. Muallif klassik Geyn-Borel 
lemmasining strukturaga to‘g‘ri kelishining zarur va yetarli sharti uning 
asosiy kesimining multiplikativligi ekanligini isbotlaydi. 
Keling, uni A segmenti tomonidan yaratilgan giperreal tuzilma deb 
ataymiz. Bizning muhokamamizning asosiy mavzusi segmentga qanday 
talablar qo'yish kerakligi haqidagi savolni o'rganish bo'lib, u tomonidan 
yaratilgan giperreal tuzilma imkon qadar sinfga o'xshash bo'lishi kerak. 
haqiqiy raqamlar. Ushbu ishda biz ko'rsatamizki, agar to'plam 
multiplikativ bo'lsa, u holda Geyne-Boreli siqish R da haqiqiy deb 
hisoblanishi mumkin, ya'ni. chegaralangan segmentning har qanday 
ochiq qoplamasidan chekli (ma'lum ma'noda) pastki qoplamani tanlash 
mumkin. 


1. Limit haqida tushuncha 
Limit (lot. Limes — chek, chegara) — matematikaning muhim 
tushunchalaridan biri. Agar bir oʻzgaruvchiga bogʻliq ikkinchi 
oʻzgaruvchi birinchi oʻzgaruvchining oʻzgarish jarayonida a songa 
cheksiz yaqinlashsa, a soni ikkinchi oʻzgaruvchi miqdorning limiti 
deyiladi. Bu yerda limit tushunchasi oʻzgarish va cheksiz 
yaqinlashish jarayoni haqidagi tasavvurga bogʻliq. limitning aniq 
matematik taʼrifi 19-asrboshlarida shakllandi. Natijada 
matematikada yangi usul — limitlar usuli paydo boʻldi. Bu 
usulning tatbiqi va rivoji differensial hisob va integral hisobning 
yaratilishiga, matematik analizning vujudga kelishiga olib keldi. 
«lim» belgi qisqartirilgan lotincha «Limes» so’zining birinchi uchta 
harifidir, u o’zbek tilida marra, chegara (limit) ma’nosini anglatadi. 
Limit nazariyasida limitlarning xossalari tekshiriladi, oʻzgaruvchi 
miqdor limitning mavjud boʻlishi shartlari oʻrganiladi, bir necha sodda 
oʻzgaruvchi miqdorlarning limitlarini bilgan holda murakkab funksiyalar 
limitlarini qisob-lashga imkon beradigan qoidalar topiladi. 
Limitnazariyasining asosiy tushunchalaridan biri cheksiz kichik — limiti 
nolga teng boʻlgan oʻzgaruvchi miqdor tushunchasi. L. nazariyasining 
yaratilishiga I. Nyuton, J. D’Alamber, L. Eyler, O. Koshi, K. 
Veyershtrass, Bolsanolar katta hissa qoʻshishgan. 
Limit ni hisoblashda ma'lum bir aniq emasliklar mavjud, 1) 0/0 
2)cheksiz/cheksiz 3) cheksiz + cheksiz 4) cheksiz - cheksiz. Shunga 
o'xshash aniq mesliklar uchun LopitalLopital qoidasi ni qo'llash 
mumkin. Unga ko'ra hisoblashda ushbu aniq emaslikka duch kelinsa toki 
aniqmaslik yo'qolmaguncha ketmaket hosila olish mumkin. 


Limitlar haqidagi teoremalar 
Limit teoremalar - ehtimollar nazariyasipy tasodifiy miqsorlar 
ketma-ketligi %p ning p cheksizlikka intilishidagi xususiyatlari 
haqidagi teoremalar. Limit teoremalar ehtimollar nazariyasining 
asosiy natijalarini bayon etish shaklidir. Katta sonlar qonuni, 
markaziy limit teorema, takroriy logarifm qonuni Limit 
teoremalarning xususiy hollaridir. Bu fakt dastlabki Limit 
teoremalardan boʻlib, Muavr — Laplas teoremasi deyiladi. 
Funksiyaning limiti haqidagi asosiy teoremalar (yigindi, 
kopaytma, bolinma haqidagi) ketma-ketlik limitlarining 
teoremalariga oxshash funksiyaning limitini hisoblashni ham 
osonlashtiradi. 
1- 
teorema. Funksiyalar yigindisining (ayirmasining) limiti shu 
funksiyalar limitlarining yigindisiga(ayirmasiga) teng: 
2- 
teorema. Funksiyalar kopaytmasining limiti shu funksiyalar 
limitlarining kopaytmasiga teng: 
Natija. Ozgarmas kopaytuvchini limit ishorasining oldiga 
chiqarish mumkin 
3- 
teorema. Funksiyalar bolinmasining limiti shu funksiyalar 
limitlarining bolinmasiga teng, qachonki, boluvchi funksiyaning 
limiti noldan farqli bolganda: 
4- 
teorema. Agar va funksiyalari uchun a nuqtaning biror 
oraligida tengsizliklar bajarilib, bolsa u holda bo`ladi. 
Chekli limitga ega bo‘lgan funksiyalar ham yaqinlashuvchi 
ketma-ketlik singari qator xossalarga ega. 


3. Limitga ega bo‘lgan funksiyalarning xossalari. 
Chekli limitga ega bo‘lgan funksiyalar ham 
yaqinlashuvchi ketma-ketlik singari qator xossalarga ega. 
Faraz qilaylik, funksiya to‘plamda berilgan bo‘lib, nuqta 
ning limit nuqtasi bo‘lsin. 
1- 
xossa. Agar da funksiya limitga ega bo‘lsa, u yagona 
bo‘ladi. 
Bu xossaning isboti limit ta’riflarining ekvivalentligi 
hamda ketma-ketlik limitining yagonaligidan kelib 
chiqadi. 
2- 
xossa. Agar ( – chekli son) 
bo‘lsa, u holda nuqtaning shunday atrofi topiladiki, bu 
atrofda funksiya chegaralangan bo‘ladi. 
Funksiya limiti ta’rifga binoan 
ya’ni bo‘ladi. Keyingi tengsizliklardan funksiyaning 
nuqtaning atrofida chegaralanganligi kelib chiqadi. 
3- 
xossa. Agar 
bo‘lib, bo‘lsa, u holda nuqtaning shunday atrofi 
topiladiki, bu atrofda bo‘ladi. 
Funksiyaning limiti ta’rifiga ko‘ra uchun shunday son 
topiladiki, , , uchun 
bo‘ladi. Bu esa da bo‘lishini bildiradi. 


Faraz qilaylik, va funksiyalar to‘plamda berilgan bo‘lib, 
nuqta to‘plamning limit nuqtasi bo‘lsin. 
Funksiya limitining Geyne ta’rifiga ko‘ra ga intiluvchi 
ixtiyoriy. 
Yaqinlashuvchi ketma-ketlikning xossalaridan foydalanib, 
(1) va (2) munosabatlardan , ya’ni bo‘lishini topamiz. ► 
5-xossa. Faraz qilaylik, 
limitlar mavjud bo‘lsin. 
Bu tasdiqlarning isboti sonlar ketma-ketliklari ustida arifmetik 
amallar bajarilishi haqidagi ma’lumotlardan kelib chiqadi. 
• Agar ixtiyoriy musbat 𝜀 son uchun 𝓍 = 𝓍0 nuqtani o’z ichiga 
olgan shunday interval ko’rsatish mumkun bo’lsaki, bu 
intervalning 
𝓍 = 𝓍0nuqtadan tashqari hamma yerida |𝒻 𝓍 − 𝑙| 

𝜀 tengsizlik bajarilsa, 𝑙 soni 𝒻 𝓍 funksiyaning 𝓍 ning 𝓍0 ga 
intilgandagi limiti deyiladi va • lim 
𝓍→𝓍0 𝒻 𝓍 = 𝑙 
ko’rinishda yoziladi. 



Download 100.72 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
  1   2   3   4   5   6   7




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling