Matematik mantiq predmeti va uning matematikani asoslashdagi o`rni

4. Asosiy mantiqiy amallar
Matematik mantiqda mulohaza (mulohaza) boshlang’ich tushuncha bo’lib,uni rost yoki yolg’onligi birqiymatli aniqlanadigan darak gap deb tushunamiz.
Misollar. 1. Tekislikda berilgan ikkita turli nuqtadan bitta va faqat bitta to’g’ri chizik o’tadi;
2. Ohirgi raqami 0 yoki 5 bilan tugaydigan butun sonlar 5 ga bo’linadi;
3. Toshkent O’zbekistonning poytaxti;
4. 16 natural son to’la kvadrat emas;
5. 2>5.
Bu keltirilgan mulohazalardan faqat birinchi uchtasi rost bo’lib, qolgan ikkitasi yolg’ondir.
O’zbek tilidagi hamma mulohazalarni A, B, C, ..., A₁, B₁, C₁, ... yoki a, b, c, ..., a₁, b₁, c₁, ... indeksli yoki indekssiz lotin harflari bilan belgilaymiz. Agar o’zgaruvchi mulohazalar haqida so’z yuritiladigan bo’lsa, unday (o’zgaruvchi) mulohazalarni X, Y, Z, ... yoki x, y, z, ... indeksli yoki indekssiz lotin harflari bilan belgilaymiz va mulohaza o’zgaruvchilari (ihtiyoriy mulohazalar) yoki propozitsional o’zgaruvchilar deymiz.
Agar A mulohaza bo’lsa, u faqat rost yoki yolg’on mulohazalardan bittasigina bo’lishi mumkin. Agar A mulohaza rost bo’lsa, unga 1 ni, yolg’on bo’lsa 0 ni mos qo’yamiz. 0 va 1 larni A mulohazaning rostlik qiymatlari deymiz.
Shunday mulohazalar borki, ularni bir nechta tarkibiy qismlarga ajratish mumkin. Masalan, "p natural son tub yoki murakkab sondir" mulohazani "p natural son tub", "p natural son murakkab" ikkita tashkil etuvchi mulohazalarga ajratish mumkin. "Tub sonlar to’plami cheksiz to’plamdir" yoki "Sardorbek kinoga bordi" mulohazalarini yuqoridagi kabi tashkil etuvchi mulohazalarga ajratish mumkin emas.
Ta'rif. Agar A mulohazani ikkitadak kam bo’lmagan tashkil etuvchi mulohazalarga ajratish mumkin bo’lmasa, u holda A ni elementar (sodda) mulohaza deyiladi, aks holda A ni murakkab mulohaza deyiladi.
Yuqorida keltirilgan misollardan birinchisi murakkab, keyingi ikkitasi esa elementar mulohazalar.
Matematik mantiqda "emas", "va", "yoki", "agar ... bo’lsa, u holda .... bo’ladi", "... bo’lgan holda va faqat shu holda ... bo’ladi" terminlar orqali elementar mulohazalardan murakkab mulohazalar, murakkab mulohazalardan yana ham murakkabroq mulohazalar hosil qilinadi va bu protsessni mulohazalar ustida mantiq amallarni bajarish deyiladi. Eslatilgan terminlarni mantiq, bog’lovchilar, propozitsional yoki mantiq amallar deyilib, ularni mos ravishda "inkor", "kon'yunksiya", "diz'yunksiya", "implikatsiya" va "ekvivalentsiya" deb ataladi.
Matematik mantiqning mulohazalarni va mulohazalar ustidagi amallarni o’rganadigan bo’limini mulohazalar algebrasi deyiladi.
T
1 - jadval
a'rif. A mulohazaning inkori deb, A rost bo’lganda yolg’on va yolg'on bo’lganda rost bo’ladigan yangi mulohazaga aytiladi hamda A (yoki ) ko’rinishda belgilanadi va uni A emas deb o’qiladi.

A	A
1	0
0	1

1 - jadvalni inkor amalining rostlik jadvali deyiladi.

Misol. A - "Toshkent O’zbekistonning poytaxti", u holda A - "Toshkent O’zbekistonning poytahti emas" degan mulohazadan iborat bo’ladi.
Ba'zan mulohazaning inkorini "emas" mantiq bog’lovchi bilan bir hil ma'noga ega bo’lgan terminlar orqali ham ifodalanadi. Masalan, A - "Sardorbek bugun maktabga bordi" mulohazaning inkori A -"Sardorbek bugun maktabga bormadi", A - "Sardorbek bugun maktabga borgani yoq" kabi ifodalash mumkin.
Mulohazalarning kon'yunksiyasi, diz'yunksiyasiimplikatsiyasi va ekvivalentsiyasi
Ta'rif. A va B mulohazalarning kon'yunksiyasi deb, u mulohazalarning har ikkalasi rost bo’lgandagina rost bo’lib, qolgan hollarda yolg’on bo’ladigan A va B mulohazalardan tuzilgan murakkab mulohazaga aytiladi va AB ko’rinishda belgilanadi, hamda "A va B" deb o’qiladi.

1. 
   -
   2 - jadval
   jadval kon’yunksiya amalining rostlik jadvali deyiladi.
   

A	B	AB
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

Misol. A - "Kecha havo ochiq bo’ldi", B - "Kecha yomg’ir yog’madi" mulohazalarni kon'yunksiyasi AB - "kecha havo ochiq bo’ldi va yomg’ir yog’madi" degan mulohazadan iborat bo’ladi.

Ta'rif. A va B mulohazalarning diz’yunksiyasi deb u mulohazalardan har ikkalasi yolg’on bo’lganda yolg’on, qolgan hollarda rost bo’ladigan A va B mulohazalardan tuzilgan murakkab mulohazaga aytiladi va AB ko’rinishda belgilanadi hamda "A yoki B" deb o’qiladi.

A	B	AB
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

Bu jadvalni diz’yunksiyaning rostlik jadvali deyiladi.

Misol. A - "Ertaga havo ochiq bo’ladi", B - "ertaga havo bulutli bo’ladi degan” mulohazalarning diz’yunksiyasi AB - "ertaga havo ochiq yoki bulutli bo’ladi" degan mulohazadan iborat bo’ladi.
Ta'rif. A mulohazadan B mulohazaning implikatsiyasi deb, faqat A mulohaza rost B mulohaza yolg’on bo’lgandagina yolg’on bo’lib, qolgan hollarda rost bo’ladigan A va B mulohazalardan tuzilgan murakkab mulohazaga aytiladi hamda A=>B (yoki AB) ko’rinishda belgilanadi va uni "Agar A bo’lsa, u holda B bo’ladi" deb o’qiladi, bunda implikatsiyani sharti, B esa uni xulosasi deyiladi.

A	B	A=>B
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

Bu jadvalni implikatsiyani rostlik jadvali deyiladi.

Misol. A - "Hushnudbek uyda qoladi", B - "Hushnudbek kinoga boradi" degan mulohazalarning implikatsiyasi A=>B - "Agar Hushnudbek uyda qolsa, u holda Hushnudbek kinoga boradi" degan mulohazadan iborat.
Matematik mantiqda qaraladigan mulohazalar implikatsiyasi jonli tilda ishlatiladigan implikatsiyadan farqlidir. Jonli tilda implikatsiyani tashkil etuvchi mulohazalar orasida qandaydir ma'noviy bog’lanish mavjuddir, lekin matematik mantiqda mulohazalar orasidagi ma'noviy bog’lanishning bo’lishi talab etilmaidi. Matematik mantiqda mulohazalarni mazmuni emas, balki ularning rostlik qiymatlarini e'tiborga olinadi. Masalan, A - "Bir sutkada 30 soat bo’ladi", B - "7 tub sondir", C - "Uchburchak ichki burchaklarining yig’indisi 200° ga teng", bu holda A=>B -"Agar bir sutka 30 soat bo’lsa, u holda 7 tub son bo’ladi" mulohazadan, A=>C - "Agar bir sutka 30 soat bo’lsa, u holda uchburchak ichki burchaklarining yig’indisi 200° ga teng bo’ladi" mulohazadan iborat bo’lib, jonli tilda implikatsiyalardan iborat bo’lgan bu mulohazalar mazmunga ega emas. Shunday bo’lishga qaramasdan matematik mantiq nuqtai - nazardan implikatsiyadan iborat bo’lgan har ikkala mulohazalar ham rostdir. Umuman aytganda, matematik mantiqda yolg’on mulohazadan rost mulohazani kelib chiqishi ham, yolg’on mulohazadan yolg’on mulohazani kelib chiqishi ham rostdir.
Ta'rif. A va B mulohazalarning ekvivalentsiyasi deb, u mulohazalarning har ikkalasi ham bir hil rostlik qiymatlarga ega bo’lgandagina rost bo’ladigan, qolgan hollarda yolg’on bo’ladigan A va B fiklardan tuzilgan murakkab mulohazaga aytiladi, A<=>B (yoki A=B, yoki A~B) ko’rinishda belgilanadi. A<=>B ni "A bo’lgan holda va faqat shu holda B bo’ladi", - deb o’qiladi.

A	B	A<=>B
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	1

Bu jadval ekvivalentsiyaning rostlik jadvali deyiladi.