Matematik tahlil

Ikki karrali integralning boshqacha ta’rifi. funksiya sohada berilgan bo‘lib, u shu sohada chegaralangan bo‘lsin. Demak, shunday o‘zgarmas va sonlar mavjud da

bo‘ladi.
sohaning biror bo‘linishini olaylik. Bu bo‘linishning har bir bo‘lagida funksiya chegaralangan bo‘lib,uning aniq chegaralari
,
mavjud bo‘ladi.Ravshanki, uchun
.
5-ta’rif. Ushbu
,
yig‘indilar mos ravishda Darbuning quyi hamda yuqori yig‘indilari deb ataladi. Bu ta’rifdan Darbu yig‘indilarining funksiyaga hamda sohaning bo‘linishiga bog‘liq ekanligi ko‘rinadi:
,
Shuningdek har doim

bo‘ladi.
6-ta’rif. to’plamning aniq yuqori chegarasi funksiyning sohadagi quyi ikki karrali integrali (quyi Riman integrali ) deb ataladi va u

kabi belgilanadi.
to’plamning aniq quyi chegarasi funksiyaning sohada yuqori ikki karrali integrali (yuqori Riman integrali) deb ataladi va u

kabi belgilanadi.Demak,
, .
7-ta’rif. Agar funksiyaning sohada quyi hamda yuqori ikki karrali integrallari bir-biriga teng bo‘lsa, u holda funksiya sohada integrallanuvchi deb ataladi, ularning umumiy qiymati

funksiyaning sohadagi ikki karrali integrali (Riman integrali) deb ataladi va u

kabi belgilanadi.
Agar

bo‘lsa, funksiya sohada integrallanmaydi deb ataladi.Ikki karrali integralning yuqoridagi ikkita ta’rifi o‘zaro ekvivalentdir.

Darbu yig‘indilarining xossalari. Faraz qilaylik, soha bo‘linishlaridan iborat to‘plam bo‘lib, , bo‘lsin.Agar bo‘linishning har bir bo‘luvchi chizig‘i bo‘linishning ham bo‘luvchi chizig‘i bo‘lsa, bo‘linish ni ergashtiradi deb ataladi. funksiya sohada berilgan va chegaralangan bo‘lsin. sohaning bo‘linishini olib,bu bo‘linishga nisbatan funksiyaning integral va Darbu yig‘indilarini tuzamiz.



_. olinganda ham nuqtalarni shunday tanlab olish mumkinki,

Shuningdek, nuqtalarni yana shunday tanlab olish mumkinki,

bo‘ladi.
_. Agar va lar sohaning ikki bo‘linishlari bo‘lib, bo‘linish bo‘linishni ergashtirsa, u holda
,
bo‘ladi.
_.Agar va lar sohaning ixtiyoriy ikki bo‘linishlari bo‘lib, va , lar funksiyaning shu bo‘linishlarga nisbatan Darbu yig‘indilari bo‘lsa,u holda

bo‘ladi.
_. Agar funksiya sohada berilgan va chegaralangan bo‘lsa, u holda

bo‘ladi.
_.Agar funksiya sohada berilgan va chegaralangan bo‘lsa, u holda olinganda ham, shunday topiladiki, sohaning diametri bo‘lgan barcha bo‘linishlari uchun


bo‘ladi.