Matematik tahlil

Ikki karrali integralning mavjudligi.
1-teorema. funksiya sohada integrallanuvchi bo‘lishi uchun, olinganda ham, shunday topilib, sohaning diametri bo‘lgan har qanday bo‘linishga nisbatan Darbu yig‘indilari

tengsizlikni qanoatlantirishi zarur va yetarli.
Isbot. Zaruriyligi. funksiya sohada integrallanuvchi bo‘lsin. Ta’rifga ko‘ra

bo‘ladi, bundan
_{, .}
olinganda ham, ga ko‘ra shunday topiladiki, sohaning diametri bo‘lgan har qanday bo‘linishiga nisbatan Darbu yig‘indilari uchun
,
munosabatiga ko‘ra

bo‘ladi, undan

bo‘lishi kelib chiqadi.
Yetarliligi. olinganda ham, shunday topilib, sohaning diametri bo‘lgan har qanday bo‘linishiga nisbatan Darbu yig‘indilari uchun

bo‘lsin. Qaralayotgan funksiya sohada chegaralanganligi uchun,quyi hamda yuqori integrallari

mavjud,

bo‘ladi. Ravshanki,
.
Bu munosabatdan

bo‘lishini topamiz. Demak, uchun

bo‘lib, undan bo‘lishi kelib chiqadi. Bu esa funksiyaning sohada integrallanuvchi ekanligini bildiradi. Teorema isbotlandi.

Ikki karrali integralning xossalari.
. funksiya sohada integrallanuvchi bo‘lsin. Bu funksiyaning sohaga tegishli bo‘lgan nol yuzali qiymatlarinigina (chegaralanganligini saqlagan holda) o’zgartirishdan hosil bo‘lgan funksiya ham sohada integrallanuvchi bo‘lib,

bo‘ladi.
. funksiya sohada berilgan bo‘lib, soha nol yuzali chiziq bilan va sohalarga ajratilgan bo‘lsin. Agar funksiya sohada integrallanuvchi bo‘lsa, funksiya va sohalarda ham integrallanuvchi bo’ladi va aksincha, ya’ni funksiya va sohalarning har birida integrallanuvchi bo‘lsa, funksiya sohada ham integrallanuvchi bo‘ladi. Bunda

. Agar funksiya sohada integrallanuvchi bo‘lsa, u holda ham shu sohada integrallanuvchi bo‘ladi va ushbu

formula o‘rinli bo‘ladi.
. Agar va funksiyalar sohada integrallanuvchi bo‘lsa, u holda funksiya ham shu sohada integrallanuvchi va ushbu

formula o‘rinli bo‘ladi.
.Agar funksiya sohada integrallanuvchi bo‘lib, uchun bo‘lsa, u holda

bo‘ladi.
_.Agar funksiya sohada integrallanuvchi bo‘lsa, uholda funksiya ham shu sohada integrallanuvchi va

bo‘ladi.
<sub>.O’rta qiymat haqidagi teoremalar. funksiya sohada berilgan va u shu sohada chegaralangan bo‘lsin. Demak shunday va o‘zgarmas sonlar topiladiki, uchun

bo‘ladi.
2-teorema. Agar funksiya sohada integrallanuvchi bo‘lsa, u holda shunday o‘zgarmas son mavjudki,

bo‘ladi, bunda sohaning yuzi.
3-teorema. Agar funksiya</sub> yopiq sohada integrallanuvchi bo‘lib, u shu sohada o‘z ishorasini o‘zgartirmasa va funksiya sohada uzluksiz bo‘lsa, u holda shunday nuqta topiladiki,

bo‘ladi.