Matematik tahlil

Murakkab funksiyaning integrallanishi.

Ta'rif. Agar g funksiya [A, B] kesmada aniqlangan bo lib, shunday o zgarmas

L > 0 topilsaki, istalgan ikki x ∈ [A, B] va y ∈ [A, B] nuqtalar uchun
|g(x) − g(y)| ≤ L|x − y| (6.4.13) tengsizlik bajarilsa, g funksiya berilgan kesmada Lipshits shartini qanoatlantiradi deyiladi.

1. 
   - Misol. Ushbu
   

g(x) = |x|
funktsiya butun sonlar o'qida Lipshits shartini qanoatlantiradi. Haqiqatan1

|g(x) − g(y)| = | |x| − |y| | ≤ |x − y|,

ya'ni (6.4.13) shart L = 1 o'zgarmas bilan bajarilar ekan.

2. 
   - Misol. Ushbu
   

g(x) = x²

funksiya sonlar o'qidagi ixtiyoriy kesmada Lipshits shartini qanoatlantiradi. Haqiqatan1 agar |x| ≤ M va |y| ≤ M bo'lsa1
|g(x) − g(y)| = |x + y| · |x − y| ≤ 2M|x − y|,
ya'ni (6.4.13) shart L = 2M o'zgarmas bilan bajarilar ekan.

→

→
Ravshanki1 biror kesmada Lipshits shartini qanoatlantiruvchi har qanday funksiya shu kesmada uzluksiz ham bo'ladi. Haqiqatan1 agar y x bo'lsa1 (6.4.13) shartdan g(y) g(x) kelib chiqadi1 qaysiki o'z navbatida1 g funksiyaning x nuqtadagi uzluksizligini anglatadi. Bu tasdiqning teskarisi o'rinli emas1 albatta. Masalan1
g(x) = ^√x, 0 ≤ x ≤ 1
funksiya [0, 1] kesmada uzluksiz1 ammo u shu kesmada Lipshits shartini qanoatlantirmasligini ko'rish qiyin emas.
Eslatma. Agar C[a, b] simvol orqali [a, b] kesmada uzluksiz funksiyalar to'plamini1
C¹[a, b] simvol orqali [a, b] kesmada uzluksiz differensiallanuvchi funksiyalar to'plamini va nihoyat1 Lip[a, b] simvol orqali [a, b] kesmada Lipshits shartini qanoatlantiruvchi funksiyalar to'plamini belgilasak1 u holda quyidagi munosabat o'rinli bo'ladi:
C¹[a, b] ⊂ Lip[a, b] ⊂ C[a, b]. (6.4.14)
O'ng tarafdagi tegishlilikni biz yuqorida ko'rsatgan edik1 chapdagi tegishlilik esa Lagranj formulasidan va C¹[a, b] dan olingan ixtiyoriy g funksiyaning hosilasi1 Veyershtrassning birinchi teoremasiga ko'ra1 [a, b] kesmada chegaralanganligidan kelib chiqadi. Haqiqatan1 ma'lumki1
g(x) − g(y) = g^t(ξ)(x − y),

shuning uchun
|g(x) − g(y)| ≤ M|x − y|,

ya'ni C¹[a, b] dan olingan har qanday funksiya Lipshits shartini qanoatlantirar ekan. Yuqoridagi misollardan ko'rinib turibdiki1 (6.4.14) dagi har ikkala tegishlilik qat'iydir.

6.4.4 - Teorema. Berilgan ϕ funksiya [a, b] kesmada integrallanuvchi bo lib, uning qiymatlari biror [A, B] kesmaga tegishli bo lsin.

Agar g funksiya [A, B] kesmada Lipshits shartini qanoatlantirsa,
f (x) = g[ϕ(x)], a ≤ x ≤ b (6.4.15) murakkab funksiya ham [a, b] kesmada integrallanuvchi bo ladi.
Isbot. Lipshits shartiga ko'ra1 [a, b] kesmaning ixtiyoriy P = {a = x₀ < x₁ <

} ∈ ∈
... < x_n = b bo'linishi olinganda hamda ξ_k [x_k−1, x_k] va η_k [x_k−1, x_k] nuqtalar
ixtiyoriy tanlanganda ham quyidagi


|f (ξ_k) − f (η_k)| = g[ϕ(ξ_k)] − g[ϕ(η_k)] ≤ L|ϕ(ξ_k) − ϕ(η_k)| ≤ L · ω(ϕ, ∆_k) tengsizlik bajariladi. Bu tengsizlikning o'ng tarafida ϕ funksiyaning ∆_k = [x_k−1, x_k] qismiy kesmadagi tebranishi turibdi.
Demak1
ω(f, ∆_k) ≤ L · ω(ϕ, ∆_k). (6.4.20)
Shunday ekan1 (6.4.16) ni ∆x_k ga ko'paytirib1 k bo'yicha 1 dan n gacha yig'ib chiqsak1
n n
ω(f, ∆_k)∆x_k ≤ L ω(ϕ, ∆_k)∆x_k (6.4.17)

bo'ladi.
k=1
k=1

Shartga ko'ra ϕ funksiya integrallanuvchi edi. Bundan chiqdi1 (6.4.17) ning o'ng tarafini1 P bo'linishni tanlash hisobiga1 istalgan ε > 0 dan kichik qilish mumkin. Demak1 f funksiya ham integrallanuvchi bo'lar ekan.

Q.E.D.

1. 
   - Natija. Agar P (t) ixtiyoriy ko phad bo lib, f funksiya [a, b] kesmada integrallanuvchi bo lsa, g(x) = P [f (x)] murakkab funksiya ham [a, b] kesmada integrallanuvchi bo ladi.
   

Ravshanki1 P (t) ko'phad uzluksiz differensiallanuvchi funksiya bo'lganligi sababli sonlar o'qining istalgan kesmasida Lipshits shartini qanoatlantiradi. Demak1 natija
6.4.4 - Teoremadan kelib chiqadi.

2. 
   - Natija. Biror kesmada integrallanuvchi ikki funksiya ko paytmasi ham shu kesmada integrallanuvchi bo ladi.
   

Agar

1
fg = ₂ ^£(f + g)² − (f − g)^2¤
tenglikni e'tiborga olsak1 isbot1 o'ng tarafning1 yuqorida qayd qilinganidek1 integrallanuvchi ekanidan kelib chiqadi.

3. 
   
   | |
   - Natija. Agar f funksiya [a, b] kesmada integrallanuvchi bo lsa, f funksiya ham shu kesmada integrallanuvchi bo lib, quyidagi tengsizlik bajariladi:
   

1

-
b

1

a
₁ f (x) dx₁ ≤
b

-
|f (x)| dx. (6.4.18)
a

| |

| |
Isbot. Berilgan f funksiya [a, b] kesmada integrallanuvchi bo'lsin. Ma'lumki1 g(x) = x funksiya sonlar o'qining istalgan kesmasida Lipshits shartini qanoatlantiradi. Bundan chiqdi1 6.4.4 - Teoremaga asosan1 g[f (x)] = f (x) murakkab funksiya ham [a, b] kesmada integrallanuvchi bo'ladi.
Endi (6.4.18) tengsizlikni isbotlash qoldi halos. Buning uchun
−|f (x)| ≤ f (x) ≤ |f (x)|
tengsizlikni integrallab1 6.2.2 - Teoremadan foydalanamiz. Natijada1

-
b

− |f (x)| dx ≤

a
b

-
f (x) dx ≤
a
b

-
|f (x)| dx

a

tengsizlikni olamiz1 qaysiki1 shubhasiz1 (6.4.18) tengsizlikka teng kuchlidir.

Q.E.D.

| |
Shuni aytish kerakki1 teskari rasdiq o'rinli emas1 ya'ni f (x) funksiyaning integrallanuvchi ekanidan f (x) funksiyaning integrallanuvchi ekani1 umuman aytganda1 kelib chiqmaydi.

3. 
   - Misol. Agar D(x) Dirixle funksiyasi bo'lsa1
   

f (x) = 2D(x) − 1

funksiyani qaraymiz. Ravshanki1
_{f (x) =} 1, agar x ratsional bo'lsa1
−1, agar x irratsional bo'lsa.

| | ≡
Shunin uchun1 f (x) 1 funksiya integrallanuvchi bo'lsada1 f funksiya integrallanuvchi bo'lmaydi (aks holda Dirixle funksiyasi D(x) = [1 + f (x)]/2 ham integrallanuvchi
bo'lar edi).

§ 6.5. Integrallanuvchi funksiyalar sinflari

1. 
   Monoton funksiyalarning integrallanuvchanligi. Integrallanish kriteriysining (6.4.2 - Teorema) sodda natijasi sifatida ixtiyoriy monoton funksiyaning integrallanuvchi ekanini ko'rsatamiz.
   

1. 
   - Teorema. Kesmada monoton bo lgan har qanday funksiya shu kesmada
   

Riman bo yicha integrallanuvchi bo ladi.

{ }
Isbot. Aniqlik uchun1 f funksiya [a, b] kesmada o'suvchi bo'lsin1 deylik. Bunda1 albatta1 f (a) < f (b) desak bo'ladi (agar f (a) = f (b) bo'lsa1 f funksiya qaralayotgan kesmada o'zgarmas bo'lib1 u1 6.1.1 - Misolda ko'rsatilganidek1 integrallanuvchi bo'ladi). Bundan tashqari1 P = a = x₀ < x₁ < ... < x_n = b berilgan kesmaning
ixtiyoriy bo'linishi bo'lib1 d(P ) uning diametri bo'lsin. U holda1 ravshanki1 ixtiyoriy qismiy yarim interval [x_k−1, x_k) uchun quyidagi munosabat o'rinlidir:
f (x_k−1) = m_k ≤ M_k ≤ f (x_k), (6.5.1)

bu yerda m_k va M_k sonlar mos ravishda (6.3.2) va (6.3.6) tengliklar bilan aniqlangan aniq chegaralardir. Demak1

M_k − m_k ≤ f (x_k) − f (x_k−1)
va shuning uchun1
n n
[M_k − m_k]∆x_k ≤ d(P ) [f (x_k) − f (x_k−1)] = d(P )[f (b) − f (a)]. (6.5.2)

k=1
Agar istalgan ε > 0 uchun
k=1
δ = δ(ε) =

ε

f (b) − f (a)

desak1 diametri d(P ) < δ bo'lgan har qanday P bo'linish uchun (6.5.2) dan (6.4.5) baho kelib chiqadi. Shunday ekan1 6.4.2 - Teoremaga asosan1 f funksiya integrallanuvchi bo'lar ekan.