Matematik tahlil

Q.E.D.

Agar f funksiya [a, b] kesmada aniqlangan bo'lib1 bu kesmaning shunday

P = {a = x₀ < x₁ < x₂ < ... < x_n = b}
bo'linishi mavjud bo'lsaki1 f funksiya har bir qismiy (x_k−1, x_k) kesmada monoton bo'lsa1 u holda f funksiyani qaralayotgan kesmada bo lakli monoton deymiz.
Natija. Kesmada bo lakli monoton bo lgan har qanday funksiya shu kesmada integrallanuvchi bo ladi.
Haqiqatan1 isbot 6.2.2 - va 6.5.1 - Teoremalardan bevosita kelib chiadi.

2. 
   Uzluksiz funksiyalarning integrallanuvchanligi. Uzluksiz funksiyalarning integrallanuvchanligi tekis uzluksizlik tushunchasi yordamida o'rnatiladi.
   

Ta'rif. Agar ixtiyoriy ε > 0 son olganda ham shunday δ > 0 son topilsaki, har qanday x₁ ∈ E va x₂ ∈ E nuqtalar uchun
|x₁ − x₂| < δ ⇒ |f (x₁) − f (x₂)| < ε (6.5.3) implikatsiya o rinli bo lsa, f funksiya E to plamda tekis uzluksiz deyiladi.
Shubhasiz1 E to'plamda tekis uzluksiz bo'lgan har qanday funksiya E to'plamning
har biq nuqtasida uzluksiz bo'ladi. Agar E ixtiyoriy to'plam bo'lsa1 teskari tasdiq o'rinli emas1 albatta. Lekin E to'plam kesma bo'lganda1 natija boshqacha bo'lar ekan. Chunonchi1 ixtiyoriy kesmada berilgan funksiyalar uchun uzluksizlik va tekis uzluksizlik tushunchalari ustma-ust tushar ekan.

2. 
   - Teorema (G. Kantor). Kesmada uzluksiz bo lgan har qanday funksiya shu kesmada tekis uzluksizdir.
   

Isbot. Berilgan f funksiya [a, b] kesmada uzluksiz bo'lsin. Bu funksiyaning tekis
uzluksiz ekanini teskarisini faraz qilish yoli bilan isbotlaymiz. Shunday qilib1 f funksiya [a, b] kesmada tekis uzluksiz bo'lmasin deylik. Bundan chiqdi1 quyidagi shartni qanoatlantiruvchi ε₀ > 0 son topiladi:
ixtiyoriy δ > 0 son olganda ham, uning qanday kichik bo lishidan qat iy nazar,
[a, b] kesmadan doim shunday ikki x^t va x^tt nuqtalar topiladiki, ular uchun
|x^t − x^tt| < δ (6.5.4)
bo lib, f funksiya uchun esa, (6.5.3) tengsizlikka teskari tengsizlik bajariladi, ya ni

|f (x^t) − f (x^tt)| ≥ ε₀. (6.5.5)