Matematik tahlil

|f (x)| ≤ M, a ≤ x ≤ b.

≤ ≤
Shuning uchun1 (6.4.12) tenglikni va (6.4.22) bahoni hisobga olib1 a x < y b
bo'lganda talab qilingan natijaga ega bo'lamiz:

1-
y
|F (y) − F (x)| =
x
f (t) dt₁ ≤
y

-
|f (t)| dt ≤

x
y

-
M dt = M|y − x|.

x

Q.E.D.

1
Har qanday Riman bo'yicha inegrallanuvchi f funksiya uchun biz yuqori chegarasi o'zgaruvchi bo'lgan (6.5.10) integralni [a, b] kesmaning har bir nuqtasida differensiallanuvchi

bo'ladi deya olmaymiz. Ammo f funksiya uzluksiz bo'lgan nuqtalarda hosila mavjud bo'lib1 u f ning shu nuqtadagi qiymatiga teng bo'ladi.

1. 
   
   −
   - Misol. [ 1, 1] kesmada berilib1 x = 0 nuqtada birinchi turdagi uzilishga
   

ega bo'lgan
_{f (x) =} 0, agar −1 ≤ x < 0 bo'lsa1
1, agar 0 ≤ x ≤ 1 bo'lsa1
funksiyani qaraymiz. Sodda hisoblashlar shuni ko'rsatadiki1 unga mos yuqori chegarasi o'zgaruvchi bo'lgan

integral quyidagicha aniqlanadi:

x

-
F (x) =
−1


f (t) dt

F (x) = ^{x + |x|} .

2

Bevosita bu tenglikdan F (x) funksiyaning noldan farqli barcha nuqtalarda differensiallanuvchi bo'lib1 x = 0 nuqtaning o'zida esa differensiallanuvchi emasligi kelib chiqadi. Bu
hol tasodifiy emas1 chunki integral ostidagi funksiya aynan x = 0 nuqtada uzilishga ega bo'lib1 qolgan barcha nuqtalarda uzluksizdir.

5. 
   
   ∈
   - Teorema. Agar f funksiya [a, b] kesmada integrallanuvchi va c [a, b]
   

nuqtada uzluksiz bo lsa, yuqori chegarasi o zgaruvchi bo lgan (6.5.10) integral c
nuqtada hosilaga ega bo lib, quyidagi tenglik bajariladi:
F^t(c) = f (c).
Isbot. Shartga ko'ra1 f funksiya [a, b] kesmada integrallanuvchi bo'lib1 c nuqtada uzluksiz bo'lsin. Bundan chiqdi1 ixtiyoriy ε > 0 uchun shunday δ > 0 topiladiki1
|x − c| < δ bo'lganda |f (x) − f (c)| < ε bo'ladi. (6.5.11) Faraz qilaylik1 c + h ∈ [a, b] bo'lsin. Navbatdagi tenglikni qaraymiz:

F (c + h) − F (c)
_{1 -}c+h
_{1 -}c+h

_h − f (c) = _h
c
f (x) dx − f (c) = _h
c
[f (x) − f (c)] dx.

| |

1
Agar 0 < h < δ bo'lsa1 (6.5.11) ga ko'ra1 oxirgi integralda integral ostidagi funksiya absolyut qiymati bo'yicha ε dan katta bo'lmaydi. Shuning uchun1

1 _F
(c + h) − F (c)
_{1 -}c+h

Demak1
_{1 h} − f (c)₁ ≤ ε · _h





dx = ε.

ekan.

Q.E.D.

lim
h→0
F (c + h) − F (c)

h

= f (c)

Natija. Agar f funksiya [a, b] kesmada uzluksiz bo lsa, yuqori chegarasi o zgaruvchi bo lgan (6.5.10) integral shu kesmada uzluksiz differensiallanuvchi bo lib, quyidagi

tenglik bajariladi:
d x

-
dx

a


f (t) dt = f (x), a ≤ x ≤ b. (6.5.12)

Shunday qilib1 biror kesmada uzluksiz bo'lgan ixtiyoriy funksiya shu kesmada boshlang'ich funksiyga ega bo'lishi isbotlandi. Xususan1 har qanday elementar funksiya boshlang'ich funksiyaga ega (albatta1 bunday boshlang'ich funksiyning elementar funksiya bo'lishi shart emas).

4. Aniq integrallarni hisoblash qoidalari.

1. 
   - Tasdiq (o'zgaruvchini almashtirish qoidasi). Berilgan g funksiya [α, β] kesmada uzluksiz differensiallanuvchi bo lib, uning qiymatlar to plami [a, b] kesma bo lsin. Bundan tashqari,
   

g(α) = a, g(β) = b
tengliklar bajarilsin.
Agar f funksiya [a, b] kesmada uzluksiz bo lsa,

tenglik o rinli bo ladi.
b

-
f (x) dx =
a
β

-
f [g(t)] g^t(t) dt (6.5.13)
α

Isbot. 6.5.5 - Teoremaning natijasiga ko'ra1 f funksiya F boshlang'ich funksiyaga ega. Shunday ekan1

murakkab funksiya

Φ(t) = F [g(t)], α ≤ t ≤ β
Φ^t(t) = F^t[g(t)]g^t(t) = f [g(t)]g^t(t)

hosilaga ega. Demak1 N'yuton-Leybnits formulasiga asosan1

-

-
β β
f [g(t)] g^t(t) dt =
α α
Φ^t(t) dt = Φ(β) − Φ(α) =
_-b

Q.E.D.

= F [g(β)] − F [g(α)] = F (b) − F (a) =
a
f (x) dx.

2. 
   - Misol. Integralni hisoblang:
   

-
π/4
I =
0

sin² x cos⁴ x ^dx

Agar t = tg x almashtirish bajarsak1 quyidagi natijani olamiz:

-
π/4

tg² x

¹ ₃ t=1

1

-

t

1

=
2

.
I = dx =
cos² x
0 0
t dt =
^{3 1}t=0 ³

2. 
   - Tasdiq (bo'laklab integrallash qoidasi). Agar u va v funksiyalar [a, b] kesmada differensiallanuvchi bo lib, ularning hosilalari shu kemada integrallanuvchi bo lsa, quyidagi tenglik bajariladi:
   

-
b

a

1
u(x)v^t(x) dx = u(x)v(x) ^b
a
b

-
− v(x) u^t(x) dx. (6.5.14)
a

Isbot. Ravshanki1 u(x)v(x) ko'paytma
u(x) v^t(x) + u^t(x) v(x)
funksiya uchun boshlang'ich funksiyadir. Demak1 N'yuton-Leybnits formulasiga ko'ra1

-
b

a

1
[u(x)v^t(x) + u^t(x)v(x)] dx = u(x)v(x) ^b .
a

Q.E.D.

3. 
   - Misol. Integralni hisoblang:
   

-
2
I =
x ln xdx.

1

₂ 2

₄ 1

2
Agar u = ln x va dv = xdx deb1 bo'laklab integrallash qoidasini qo'llasak1 quyidagi natijani olamiz:

ln x
2

1

I =

1

−
_x2 ₁


^-2 x² dx x ¹ 1 3

3. 
   
   −
   
   _x = 2 ln 2 −
   
   1
   
   = 2 ln 2 − 1 + ₄ = 2 ln 2 − ₄ .
   - Tasdiq (integral ko'rinishdagi qoldiq hadli Teylor formulasi). Agar n manfiy bo lmagan butun son bo lib, f funksiya a nuqtaning biror atrofida (n + 1) marta uzluksiz differensiallanuvchi bo lsa, u holda o sha atrofdan olingan har qanday x uchun quyidagi tenglik bajariladi:
   

f (x) = f (a) + f^t(a)(x − a) + f
1 ^-x
^tt(a)
(x a)<sup>2

−</sup> + +
_2! ... f


(n)


(a)
(x − a)ⁿ ₊
n!

⁺ n!
a
(x − t)ⁿf ⁽ⁿ⁺¹⁾(t) dt. (6.5.15)

Isbot. Agar n = 0 bo'lsa1 (6.5.15) tenglik

-
x
f (x) = f (a) +
a
f^t(t) dt

ko'rinishga kelib1 N'yuton-Leybnist formulasi bilan ustma-ust tushadi. Endi matematik induksiya usulidan foydalanamiz. Buning uchun

f (x) = f (a) + f^t(a)(x − a) + f
^tt(a)
(x a)<sup>2

−</sup> + +
_2! ... f
(n−1)


(a)
(x − a)ⁿ⁻¹ ₊ (n − 1)!

1 ^-x
+
(n −

1)!

a
(x − t)ⁿ⁻¹f ⁽ⁿ⁾(t) dt (6.5.16)

1 ^-x
tenglik o'rinli deb faraz qilib1 bundan (6.5.15) tenglik haq ekanini keltirib chiqaramiz. Ana shu maqsadda (6.5.16) dagi integralni bo'laklab integrallaymiz:

(n −

1)!

a
(x − t)ⁿ⁻¹f ⁽ⁿ⁾(t) dt =

= − ₍
1

1)!

(x − t)ⁿ


t=x
f ⁽ⁿ⁾(t)₁ + ₍
1

−
1)!

^-x (x − t)ⁿ


f ⁽ⁿ⁺¹⁾(t) dt =

n − n

1
(x − a)ⁿ
t=a
n n
a
1 ^-x

⁼ n!
f ⁽ⁿ⁾(a) +
n!
a
(x − t)ⁿf ⁽ⁿ⁺¹⁾(t) dt.

Hosil bo'lgan ifodani (6.5.16) ga qo'ysak1 talab qilingan (6.5.15) tenglikni olamiz.

5. 
   O'rta qiymat formulasi. Biror [a, b] kesmada integrallanuvchi bo'lgan f
   

funksiyani qaraymiz.
Ta'rif. Berilgan f funksiyaning [a, b] kesmadagi o rta qiymati deb quyidagi kattalikka aytiladi:

E(f ) =
1 b

-
b − a

f (x) dx. (6.5.17)

a

−

∈
Masalan1 agar [a, b] kesmani1 uzunligi l = (b a) ga teng bo'lgan biror metal g'o'laning matematik ideallashtirilgani deb qarasak va funksiyaning f (x) qiymatini x [a, b] nuqtadagi temperatura desak1 u holda (6.5.17) kattalik metal g'o'laning o'rtacha temperaturasini anglatadi. Shubhasiz1 agar f funksiya o'zgarmas bo'lsa1 ya'ni f (x) = c desak1 o'rtacha qiymat ham c ga teng bo'ladi.

1 ^-b
Ushbu misolda g'o'la bir jinsli deb faraz qilingan edi. Bordiyu g'o'laning zichligini o'zgaruvchi deb1 uning x nuqtadagi qiymatini ρ(x) ga teng desak1 u holda o'rtacha qiymat sifatida quyidagi kattalik olinadi:

bu yerda

E_ρ(f ) =


I(ρ)
a
f (x) ρ(x) dx, (6.5.18)

I(ρ) =
b

-
ρ(x) dx. (6.5.19)
a

≥
Odatda ρ(x) 0 va I(ρ) > 0 deb faraz qilinadi.
Shuni aytish kerakki1 bu umumiy holda ham o'zgarmasning o'rtacha qiymati o'sha songa teng o'zgarmas bo'ladi.
Matematik adabiyotlarda o'rta qiymat haqidagi teorema odatda navbatdagi ko'rinishda keltiriladi.
6.5.3 - Teorema. Berilgan f va ρ funksiyalar [a, b] kesmada integrallanuvchi
bo lib, ρ quyidagi shartni qanoatlantirsin:
ρ(x) ≥ 0, a ≤ x ≤ b. (6.5.20)

Agar
desak,


m(f ) = inf
a≤x≤b


f (x), M (f ) = sup
a≤x≤b


f (x) (6.5.21)

m(f ) ≤ µ ≤ M (f ) (6.5.22)
shartni qanoatlantiruvchi shunday µ son topiladiki, u uchun quyidagi tenglik bajariladi:

-

-
b b
f (x) ρ(x) dx = µ
a a


ρ(x) dx. (6.5.23)

Isbot. Yuqoridagi (6.5.21) belgilashga ko'ra1 barcha x ∈ [a, b] lar uchun
m(f ) ≤ f (x) ≤ M (f )
tengsizlik o'rinli. Bu qo'shaloq tengsizlikni hadma-had ρ(x) ≥ 0 ga ko'paytiramiz:
m(f ) · ρ(x) ≤ f (x) · ρ(x) ≤ M (f ) · ρ(x).
Endi bu tengsizlikni integrallasak1

_-b
m(f ) · I(ρ) ≤
a
f (x) ρ(x) dx ≤ M (f ) · I(ρ) (6.5.24)

bo'ladi1 bu yerda I(ρ) (6.5.19) tenglik bilan aniqlangan kattalikdir.
Agar I(ρ) > 0 bo'lsa1