Matematik tahlil

Q. E. D.

§ 6.8. Misollar

∞ _x
1 - Misol. Agar f (x) funksiya [0, + ) da uzluksiz bo'lib1 lim
→+∞


f (x) = A bo'lsa1

limitni toping.

lim

n→+∞

1

-
f (nx)dx (6.8.1)
0

Ko'rsatma. (6.8.1) dagi integralni (0, ^√1 ) va ( ^√1 , 1) intervallar bo'yicha integrallar
n n
yig'indisi sifatida yozib oling. Birinchi integral limiti nol ekanini ko'rsating.
Ikkinchi integralda y = nx almashtirish bajarib1 unga 6.5.3 - Teorema natijasini qo'llang.

2 - Misol. Agar f funksiya T > 0 davrga ega bo'lgan davriy funksiya bo'lib1

[0, T ] kesmada integrallanuvchi bo'lsa1

lim

1

-
f (nx)dx =
₁ - _T


f (t)dt

^n→+∞ T ₀
0
tenglik bajarilishini isbotlang.
Ko'rsatma. Avval nx = t almashtirish bajarib1 so'ngra f funksiyaning davriyligidan foydalaning.

3 - Misol. Agar f (x) funksiya x > 0 da monoton o'suvchi bo'lib1 lim

=
x→+∞
f (x) x

-
+∞ bo'lsa1 _∞
sin (f (x))dx
0
integral yaqinlashadimi?

2
Ko'rsatma. f (x) = (4[x]² + 1) ^π funksiyani tekshiring.
3 - Misol. Agar [a, b] kesmada f^t(x) monoton va |f^t(x)| ≥ A bo'lsa1

1

2
_1-b ₁

a
tengsizlikni isbotlang.
₁ sin(f (x)) dx₁ ≤ _A (6.8.2)

Ko'rsatma. (6.8.2) integralda t = f (x) almashtirish bajaring. Hosil bo'lgan integralga (6.5.29) Bonne formulasini qo'llang (o'sha yerdagi 2 - Eslatmaga qarang).

4 - Misol. Agar f (x) funksiya (a, b) intervalda monoton bo'lib1 integral mavjud bo'lsa1 lim x^p+1f (x) = 0 tenglikni isbotlang.
x→+0


a

R
x^pf (x)dx
0

Ko'rsatma. Ikkinchi tur xosmas integral yaqinlashishi uchun Koshi kriteriysini
keltiring va undan foydalaning.

5 - Misol. Berilgan [a, b] kesmada g(x) funksiya uzluksiz bo'lsin. Agar f (a) =

f (b) = 0 tenglikni qanoatlantiruvchi har qanday uzluksiz f funksiya uchun

f (x)g(x)dx = 0

- _b



tenglik bajarilsa1 g(x) ≡ 0 ekanini isbotlang.

2

2
Ko'rsatma. Agar berilgan kesmaning biror nuqtasida g(x) /= 0 bo'lsin desak1

_e−1/x (1−x)
funksiya yordamida f funksiyani tanlash hisobiga ziddiyat oling.

6 - Misol. Berilgan [a, b] kesmada a(x) uzluksiz differensiallanuvchi va b(x) uzluksiz bo'lsin. Agar [a, b] kesmada uzluksiz differensiallanuvchi va f (a) = f (b) = 0 shartni qanoatlantiruvchi har qanday f funksiya uchun

_-b
[a(x)f^t(x) + b(x)f (x)] dx = 0 (6.8.3)
a

tenglik bajarilsa1 a^t(x) = b(x) ekanini isbotlang.

Ko'rsatma. Avval (6.8.3) tenglik



_-b
[a^t(x) − b(x)]f (x)dx = 0
a
munosabatga teng kuchli ekanini ko'rsating. So'ngra 5 - Misoldan foydalaning.

1 - Misol. Agar f (x) funksiya [0, 1] kesmada integrallanuvchi bo'lib1

f (x)dx > 0 (6.8.4)

_-1
0

⊆ ≥
bo'lsa1 u holda shunday [a, b] [0, 1] kesma topilib1 unda f (x) 0 tengsizlik bajarilishini isbotlang.
Ko'rsatma. Agar [0, 1] kesma bo'linishining diametri yetarlicha kichik bo'lsa1
(6.8.4) tengsizlik Darbuning quyi yig'indilari uchun ham bajarilishidan foydalaning.

8. 
   - Misol. Agar f (x) funksiya [a, b] kesmada uzluksiz bo'lsa1
   

ekanini isbotlang.

lim

b_-−h

→
h 0+0
a
|f (x + h) − f (x)|dx = 0

Ko'rsatma. Kantor teoremasiga ko'ra f funksiya [a, b] kesmada tekis uzluksiz ekanligidan foydalaning.

8. 
   - Misol. Integrallanuvchi toq funksiyaning istalgan boshlang'ich funksiyasi juft va juft funksiyaning boshlang'ich funksiyalari orasida faqat bittasi toq ekanini isbotlang.
   

Ko'rsatma. Berilgan f funksiyaning istalgan F boshlang'ich funksiyasini quyidagi

F (x) =


f (t)dt + C

_-x
0
aniq integral ko'rinishida yozib oling.

8. 
   - Misol. Agar f (x) funksiya [a, b] kesmada integrallanuvchi bo'lib1 biror
   

c ∈ (a, b) nuqtada bartaraf etilmaydigan birinchi tur uzilishga ega bo'lsa1 u holda

F (x) =

f (t) dt funksiya c nuqtada differensiallanuvchi emasligini ko'rsating.
_Rx



0
Ko'rsatma. F (x) funksiyaning c nuqtadagi hosilasi ta'rifidan foydalaning.

8. 
   - Misol. Agar f (x) funksiya [a, b] kesmada uzluksiz va manfiy bo'lmasa1
   

tenglikni isbotlang.


b

_-


lim

n→+∞
a
1/n






fⁿ(x) dx

= max f (x) (6.8.5)

x∈[a,b]

1

1
Ko'rsatma. Agar M = max_x∈[a,b] f (x) va (6.8.5) dagi ketma-ketlikni a_n desak1 a_n ≤ M (b−a) ⁿ ekanini va istalgan ε > 0 uchun biror [α, β] kesmada f (x) ≥ M −ε bo'lgani uchun a_n ≥ (M − ε)(β − α) ⁿ ekanini isbotlang.

8. 
   
   (0 ∈
   - Misol. Agar f (x) funksiya [0, 1] kesmada monoton kamaysa1 istalgan a
   

, 1) uchun

tengsizlikni isbotlang.

a

-
f (x) dx ≥ a
0
1

-
f (x) dx (6.8.6)
0

Ko'rsatma. Avval (6.8.6) tengszlikning chapidagi integralda x = at almashtirish bajaring1 so'ngra uni o'ngdagi integral bilan taqqoslang.

8. 
   - Misol. Agar f (x) va g(x) funksiyalar [a, b] kesmada integrallanuvchi bo'lsa1 quyidagi1 Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi deb ataluvchi1 tengsizlikni isbotlang:
   

_1-b
1 1 -b
1 -b

1

|f ^{2 �}

a

a
₁ f (x)g(x) dx₁ ≤ ^�
(x)| dx
|g(x)|² dx. (6.8.7)
a

Demak1 agar

AB ≤

_A2 _B2

+
2 2 ^.

_{(x) =} |f(x)| _{, B(x) =} |g(x)|

desak1
A _b

a



|f (x)|² dx


_-b
b

a



|g(x)|² dx

bo'ladi.
A(x)B(x) dx ≤ 1
a

8. 
   
   -
   - Misol. Agar f (x) funksiya [0, 1] kesmada uzluksiz differensiallanuvchi bo'lib1 f (1) − f (0) = 1 bo'lsa1
   

tengsizlikni isbotlang.
Ko'rsatma. Ravshanki1
1
|f^t(x)|² dx ≥ 1
0


_-1

f (1) − f (0) =
0
f^t(x) dx = 1.

Bu tenglikda f^t va 1 funksiyalar uchun Koshi-Bunyakovskiy tengsizligini qo'llang.

8. 
   
   x
   - Misol. Agar x /= 0 da f (x) = ^{sin x} va f (0) = 0 desak1 f (x) funksiyaning
   

[ 1 1]

( ) = x ( )

( 1 1)

− , kesmada integrallanuvchi va F x
t
f t dt funksiya − ,
−1
intervalda

differensiallanuvchi ekanini ko'rsating. F (0) ni toping.
Ko'rsatma. Birinchi ajoyib limitni qo'llang. F^t(0) ni hisoblashda (6.5.28) birinchi o'rta qiymat formulasidan foydalaning.