Matematik tahlil

MATEMATIK TAHLIL

SH. A. ALIMOV, R. R. ASHUROV

VI Bob. Aniq integral

§ 6.1. Integral - integral yig'indilar limiti sifatida

1. 
   Egri chiziqli trapetsiya yuzasi. Aniq integral tushunchasi biror kesmada berilgan funksiya grafigi va abssissalar o'qi bilan chegaralgan geometrik figura yuzasini hisoblash masalasi bilan uzviy bog'liqdir.
   

Biror [a, b] kesmada f funksiya berilgan bo'lib1 u manfiy bo'lmagan qiymatlar
qabul qilsin. Bu funksiya grafigi1 abssissalar o'qi hamda x = a va x = b vertikal to'g'ri chiziqlarning ikki kesmalari bilan chegaralangan figurani T deb belgilaylik:
T = {(x, y) ∈ R² : 0 ≤ y ≤ f (x), a ≤ x ≤ b}. (6.1.1)
T figurani odatda egri chiziqli trapetsiya deyishadi. Bu figuraning S = S(T )
yuzasini hisoblash maqsadida [a, b] kesmani
a = x₀ < x₁ < x₂ < ... < x_n = b
nuqtalar yordamida [x_k−1, x_k], k = 1, 2, ..., n qismiy kesmalarga ajratamiz.
U holda T egri chiziqli trapetsiya quyidagi:
T_k = {(x, y) ∈ R² : 0 ≤ y ≤ f (x), x_k ≤ x ≤ x_k−1}
ko'rinishdagi kichik egri chiziqli trapetsiyalarning yig'indisiga aylanadi.
Agar
∆x_k = x_k − x_k−1
deb belgilash kiritsak1 T_k kichik egri chiziqli trapetsiyaning S_k = S(T_k) yuzasi taqriban
S(T_k) ~ f (ξ_k) ∆x_k
ga teng bo'ladi1 bu yerda ξ_k nuqta [x_k−1, x_k] kesmaning ixtiyoriy nuqtasidir.
Shunday ekan1 butun T egri chiziqli trapetsiyaning yuzasi taqriban

n

ga teng bo'ladi.
S(T ) ~
f (ξ_k) ∆x_k (6.1.2)
k=1

Agar har bir qismiy [x_k−1, x_k] segmentning uzunligini kichiklashtirsak (va natijada1
bo'linish nuqtalari soni n ni oshirsak)1 (6.1.2) yig'indi egri chiziqli trapetsiya yuzasiga
yanada yaqinroq bo'lishini kutish tabiiydir.
1

Shuni qayd etish joizki1 biz egri chiziqli trapetsiya yuzasining aniq ta'rifiga ega emasmiz. Shu sababli1 bizning yuqoridagi mulohazalarimiz mana shu yuzani intuitiv tushunishimizga asoslangan edi. Biz boshqa yo'l tutsak ham bo'ladi1 chunonchi1 qismiy segmentlar uzunligi nolga intilgan vaqtdagi (6.1.2) yig'indining limitini (6.1.1) egri chiziqli trapetsiya yuzasi deb atashimiz mumkin.

2. 
   Integral yig'indilar limiti. Shunday qilib1 f funksiya (bu safar manfiy bo'lmasligi shart emas) biror [a, b] kesmada aniqlangan bo'lsin. Bu kesmaning P