Matematik tahlil
Download 434.63 Kb.
|
2 bob uchun
- Bu sahifa navigatsiya:
- Q.E.D.
limd(P∗)→0 σP ∗ (f ) = b - f (x) dx + a c - f (x) dx. (6.2.6) b Endi [a, c] kesmaning1 b nuqtani o'z ichiga olmagan1 ixtiyoriy P bo'linishini qaraymiz. Aytaylik1 b nuqta xm−1 va xm nuqtalar orasida yotsin1 ya'ni xm−1 < b < xm.≤ Agar P bo'linishga b nuqtani qo'shsak1 [a, c] kesmaning yangi bo'linishini olamiz. Ana shu bo'linishni P∗ simvol orqali belgilaymiz. Bunda1 albatta1 d(P∗) d(P ) bo'ladi. Ravshanki1 bu ikki bo'linishlarga mos keluvchi (6.1.3) ko'rinishdagi integral yig'indilar ayirmasini quyidagicha yozish mumkin σP (f ) − σP ∗ (f ) = = f (ξm)(xm − xm−1) − f (ξmt )(b − xm−1) − f (ξmtt )(xm − b), (6.2.7) bu yerda ξmt ∈ [xm−1, b] va ξmtt ∈ [b, xm]. Integrallanuvchi funksiyaning chegaralanganligi haqidagi 6.1.1 - Tasdiqqa ko'ra1 shunday M > 0 o'zgarmas topiladiki1 barcha x ∈ [a, c] uchun |f (x)| ≤ M tengsizlik bajariladi. Shuning uchun (6.2.7) dan |σP (f ) − σP ∗ (f )| ≤ M (xm − xm−1) + M (b − xm−1) + M (xm − b) = = 2M ∆xm ≤ 2Md(P ) (6.2.8) kelib chiqadi. Demak1 har ikkala integral yig'indi bitta limitga ega bo'lib1 (6.2.6) ga ko'ra1 limd(P )→0 σP (f ) = b - f (x) dx + a c - f (x) dx, b ya'ni (6.2.4) tenglik bajarilar ekan. Q.E.D.Eslatma. Biz (6.2.4) tenglikda a < b < c deb faraz qilgan edik. Agar istalgan a - uchun a f (x) dx = 0 (6.2.9) a ≤ ≤ deb kelishib olinsa1 (6.2.4) tenglik a b c bo'lganda ham o'rinli bo'ladi. Shuni alohida qayd etamizki1 (6.2.9) tenglik isbotlanmaydi va u faqat kelishuv natijasidir. Navbatdagi tasdiq1 [a, b] kesmada integrallanuvchi funksiya qiymatini shu kesmaga tegishli bo'lgan ixtiyoriy c nuqtada o'zgartirsak1 o'zgartirilgan funksiya yana integrallanuvchi bo'lib1 bunda integralning qiymati o'zgarmasligini ko'rsatadi. 6.2.1 - Tasdiq. Agar f funksiya [a, b] kesmada Riman bo yicha integrallanuvchi bo lib, c ∈ [a, b] bo lsa, istalgan haqiqiy µ uchun f (x) = f (x), agar x /= c bo'lsa1 µ µ , agar x = c bo'lsa1 funksiya ham [a, b] kesmada integrallanuvchi bo lib, tenglik bajariladi. b - fµ(x) dx = a b - f (x) dx a Isbot bevosita 6.2.1 - Teorema va 6.1.3 - Misoldan kelib chiqadi. Buning uchun1 quyidagi o'z-o'zidan ko'rinib turgan1 fµ(x) = f (x) + [µ − f (c)]gc(x) tenglikdan foydalanish yetarli. Eslatma. Agar [a, b] kesmada integrallanuvchi funksiyaning qiymatlarini shu kesmaning istalgan chekli sondagi nuqtalarida o'zgartirsak1 hosil bo'lgan funksiya yana integrallanuvchi bo'lib1 bunda integralning qiymati o'zgarmaydi. Shuni aytish kerakki1 Dirixle funksiyasi nolga aynan teng funksiyadan sanoqli sondagi nuqtalarda (barcha ratsional nuqtalarda) farq qiladi. Demak1 agar integrallanuvchi funksiya qiymatlarini sanoqli sondagi nuqtalarda o'zgartirsak1 Dirixle funksiyasi misolida ko'rganimizdek1 o'zgartirilgan funksiya Riman bo'yicha integrallanmasligi ham mumkin ekan. - Misol. Aytaylik1 c ∈ R bo'lsin. Shu nuqtada uzilishga ega bo'lgan c 0, agar x < c bo'lsa h (x) = 1, agar x ≥ c bo'lsa1 (6.2.10) funksiyani aniqlab1 uning istalgan [a, b] kesmada integrallanuvchi ekanini ko'rsatamiz. Haqiqatan1 agar c nuqta [a, b] kesmadan tashqarida yotsa1 bu kesmada hc(x) o'zgarmas bo'lib1 6.1.1 - Misolga ko'ra1 u integrallanuvchi bo'ladi. ∈ Bordiyu c [a, b] bo'lsa1 (6.2.10) funksiya [c, b] kesmada o'zgarmas bo'lib1 [a, c] kesmada esa1 c nuqtadan boshqa barcha nuqtalarda o'zgarmasga teng bo'ladi. Shuning uchun1 u har ikkala kesmalarda ham integrallanuvchi bo'ladi. Demak1 6.2.3 - Teoremaga ko'ra1 bu funksiya butun [a, b] kesmada integrallanuvchidir. Xususan1 agar c ∈ [a, b] bo'lsa1 - b hc(x) dx = b − c (6.2.11) a tenglik bajariladi. Shuni aytish kerakki1 hc(x) funksiya pog anasimon (yoki bo lakli-o zgarmas) deb ataluvchi funksiyalarga eng sodda misoldir. Umuman1 pog'onasimon deb quyidagi ko'rinishdagi funksiyaga aytiladi: f (x) = n ajhcj (x), (6.2.12) j=1 bu yerda aj va cj berilgan haqiqiy sonlardir. - Misol. ∆ = [α, β) - sonlar o'qining biror yarim intervali bo'lsin1 ya'ni ∆ = {x ∈ R : α ≤ x < β}. Quyidagi funksiyani aniqlayamiz. ω(x, ∆) = 1, agar x ∈ ∆ bo'lsa1 0, agar x ∈/ ∆ bo'lsa, (6.2.13) Ushbu ω(x, ∆) funksiya ∆ yarim intervalning xarakteristik funksiyasi deyiladi. Agar ha(x) va hb(x) (6.2.10) tenglik orqali aniqlangan pog'onasimon funksiyalar bo'lsa1 ravshanki1 ω(x, ∆) = hα(x) − hβ(x). Aniqlanishiga ko'ra1 ω(x, ∆) funksiya istalgan kesmada integrallanuvchi bo'lib1 agar ∆ yarim interval biror [a, b] kesmaning ichida yotsa1 (6.2.1) va (6.2.11) tengliklarga asosan1 - b ω(x, ∆) dx = a b - hα(x) dx − a b - hβ(x) dx = (b − α) − (b − β) = β − α. a -b Shunday qilib1 agar ∆ yarim interval [a, b] kesmaning ichida joylashgan bo'lib1 uning uzunligini |∆| = β − α desak1 ω(x, ∆) dx = |∆| (6.2.14) a tenglik bajarilar ekan. { } - Misol. P = a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b - berilgan [a, b] kesmaning biror bo'linishi bo'lsin. Bu kesmada h(x) funksiyani shunday aniqlaymizki1 u har bir qismiy ∆k = [xk−1, xk) yarim intervalda o'zgarmas bo'lib1 µk qiymatni qabul qilsin1 ya'ni h(x) = µk, agar x ∈ ∆k bo'lsa (6.2.15) (k = n bo'lganda ∆k sifatida ∆n = [xn−1, xn] = [xn−1, b] kesma olinadi). Albatta1 bunday aniqlangan h(x) funksiya pog'onasimondir. Agar 6.2.2 - Misoldagi belgilashlardan foydalanib1 ω(x, ∆k) deb ∆k qismiy yarim intervalning xarakteristik funksiyasini olsak1 h(x) funktsiyani quyidagi ko'rinishda yosish mumkin bo'ladi: n h(x) = µk ω(x, ∆k). (6.2.16) k=1 Demak1 xulosa qilib shuni aytish mumkinki1 istalgan pog'onasimon funksiya har qanday [a, b] kesmada Riman bo'yicha integrallanuvchi bo'lar ekan. Bundan tashqari1 (6.2.14) tenglikka ko'ra1 - b h(x) dx = a
|
Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling
ma'muriyatiga murojaat qiling