Matematik tahlil

lim

d(P^∗)→0


σ_P ^∗ (f ) =
b

-
f (x) dx +
a
c

-
f (x) dx. (6.2.6)
b

2. 
   Endi [a, c] kesmaning1 b nuqtani o'z ichiga olmagan1 ixtiyoriy P bo'linishini qaraymiz. Aytaylik1 b nuqta x_m−1 va x_m nuqtalar orasida yotsin1 ya'ni
   

x_m−1 < b < x_m.

≤
Agar P bo'linishga b nuqtani qo'shsak1 [a, c] kesmaning yangi bo'linishini olamiz. Ana shu bo'linishni P^∗ simvol orqali belgilaymiz. Bunda1 albatta1 d(P^∗) d(P ) bo'ladi. Ravshanki1 bu ikki bo'linishlarga mos keluvchi (6.1.3) ko'rinishdagi integral
yig'indilar ayirmasini quyidagicha yozish mumkin
σ_P (f ) − σ_P ^∗ (f ) =
= f (ξ_m)(x_m − x_m−1) − f (ξ_m^t )(b − x_m−1) − f (ξ_m^tt )(x_m − b), (6.2.7)
bu yerda ξ_m^t ∈ [x_m−1, b] va ξ_m^tt ∈ [b, x_m]. Integrallanuvchi funksiyaning chegaralanganligi
haqidagi 6.1.1 - Tasdiqqa ko'ra1 shunday M > 0 o'zgarmas topiladiki1 barcha
x ∈ [a, c] uchun |f (x)| ≤ M tengsizlik bajariladi. Shuning uchun (6.2.7) dan
|σ_P (f ) − σ_P ^∗ (f )| ≤ M (x_m − x_m−1) + M (b − x_m−1) + M (x_m − b) =
= 2M ∆x_m ≤ 2Md(P ) (6.2.8)
kelib chiqadi.
Demak1 har ikkala integral yig'indi bitta limitga ega bo'lib1 (6.2.6) ga ko'ra1

lim

d(P )→0


σ_P (f ) =


b

-
f (x) dx +
a


c

-
f (x) dx,
b

ya'ni (6.2.4) tenglik bajarilar ekan.

Q.E.D.

Eslatma. Biz (6.2.4) tenglikda a < b < c deb faraz qilgan edik. Agar istalgan a

-
uchun
a
f (x) dx = 0 (6.2.9)
a

≤ ≤
deb kelishib olinsa1 (6.2.4) tenglik a b c bo'lganda ham o'rinli bo'ladi. Shuni alohida qayd etamizki1 (6.2.9) tenglik isbotlanmaydi va u faqat kelishuv natijasidir.

Navbatdagi tasdiq1 [a, b] kesmada integrallanuvchi funksiya qiymatini shu kesmaga tegishli bo'lgan ixtiyoriy c nuqtada o'zgartirsak1 o'zgartirilgan funksiya yana integrallanuvchi bo'lib1 bunda integralning qiymati o'zgarmasligini ko'rsatadi.

6.2.1 - Tasdiq. Agar f funksiya [a, b] kesmada Riman bo yicha integrallanuvchi bo lib, c ∈ [a, b] bo lsa, istalgan haqiqiy µ uchun



_{f (x) =} f (x), agar x /= c bo'lsa1
^µ µ , agar x = c bo'lsa1
funksiya ham [a, b] kesmada integrallanuvchi bo lib,

tenglik bajariladi.
b

-
f_µ(x) dx =
a
b

-
f (x) dx
a

Isbot bevosita 6.2.1 - Teorema va 6.1.3 - Misoldan kelib chiqadi. Buning uchun1 quyidagi o'z-o'zidan ko'rinib turgan1
f_µ(x) = f (x) + [µ − f (c)]g_c(x)
tenglikdan foydalanish yetarli.
Eslatma. Agar [a, b] kesmada integrallanuvchi funksiyaning qiymatlarini shu kesmaning istalgan chekli sondagi nuqtalarida o'zgartirsak1 hosil bo'lgan funksiya yana integrallanuvchi bo'lib1 bunda integralning qiymati o'zgarmaydi.
Shuni aytish kerakki1 Dirixle funksiyasi nolga aynan teng funksiyadan sanoqli sondagi nuqtalarda (barcha ratsional nuqtalarda) farq qiladi. Demak1 agar integrallanuvchi funksiya qiymatlarini sanoqli sondagi nuqtalarda o'zgartirsak1 Dirixle funksiyasi misolida ko'rganimizdek1 o'zgartirilgan funksiya Riman bo'yicha integrallanmasligi
ham mumkin ekan.

1. 
   - Misol. Aytaylik1 c ∈ R bo'lsin. Shu nuqtada uzilishga ega bo'lgan
   

c

0, agar x < c bo'lsa
_{h (x) =} 1, agar x ≥ c bo'lsa1


(6.2.10)

funksiyani aniqlab1 uning istalgan [a, b] kesmada integrallanuvchi ekanini ko'rsatamiz. Haqiqatan1 agar c nuqta [a, b] kesmadan tashqarida yotsa1 bu kesmada h_c(x)

o'zgarmas bo'lib1 6.1.1 - Misolga ko'ra1 u integrallanuvchi bo'ladi.

∈
Bordiyu c [a, b] bo'lsa1 (6.2.10) funksiya [c, b] kesmada o'zgarmas bo'lib1 [a, c] kesmada esa1 c nuqtadan boshqa barcha nuqtalarda o'zgarmasga teng bo'ladi. Shuning uchun1 u har ikkala kesmalarda ham integrallanuvchi bo'ladi. Demak1 6.2.3
- Teoremaga ko'ra1 bu funksiya butun [a, b] kesmada integrallanuvchidir. Xususan1 agar c ∈ [a, b] bo'lsa1

-
b
h_c(x) dx = b − c (6.2.11)
a
tenglik bajariladi.
Shuni aytish kerakki1 h_c(x) funksiya pog anasimon (yoki bo lakli-o zgarmas) deb ataluvchi funksiyalarga eng sodda misoldir. Umuman1 pog'onasimon deb quyidagi

ko'rinishdagi funksiyaga aytiladi:


f (x) =
n

a_jh_cj (x), (6.2.12)
j=1

bu yerda a_j va c_j berilgan haqiqiy sonlardir.

2. 
   - Misol. ∆ = [α, β) - sonlar o'qining biror yarim intervali bo'lsin1 ya'ni
   

∆ = {x ∈ R : α ≤ x < β}.

Quyidagi
funksiyani aniqlayamiz.
_{ω(x, ∆) =} 1, agar x ∈ ∆ bo'lsa1

0, agar x ∈/ ∆ bo'lsa,
(6.2.13)

Ushbu ω(x, ∆) funksiya ∆ yarim intervalning xarakteristik funksiyasi deyiladi. Agar h_a(x) va h_b(x) (6.2.10) tenglik orqali aniqlangan pog'onasimon funksiyalar bo'lsa1 ravshanki1
ω(x, ∆) = h_α(x) − h_β(x).
Aniqlanishiga ko'ra1 ω(x, ∆) funksiya istalgan kesmada integrallanuvchi bo'lib1 agar
∆ yarim interval biror [a, b] kesmaning ichida yotsa1 (6.2.1) va (6.2.11) tengliklarga asosan1

-
b
ω(x, ∆) dx =
a
b

-
h_α(x) dx −
a
b

-
h_β(x) dx = (b − α) − (b − β) = β − α.
a

_-b
Shunday qilib1 agar ∆ yarim interval [a, b] kesmaning ichida joylashgan bo'lib1 uning uzunligini |∆| = β − α desak1


ω(x, ∆) dx = |∆| (6.2.14)
a
tenglik bajarilar ekan.

3. 
   
   { }
   - Misol. P = a = x₀ < x₁ < x₂ < ... < x_n = b - berilgan [a, b]
   

kesmaning biror bo'linishi bo'lsin. Bu kesmada h(x) funksiyani shunday aniqlaymizki1 u har bir qismiy ∆_k = [x_k−1, x_k) yarim intervalda o'zgarmas bo'lib1 µ_k qiymatni qabul qilsin1 ya'ni
h(x) = µ_k, agar x ∈ ∆_k bo'lsa (6.2.15) (k = n bo'lganda ∆_k sifatida ∆_n = [x_n−1, x_n] = [x_n−1, b] kesma olinadi).
Albatta1 bunday aniqlangan h(x) funksiya pog'onasimondir. Agar 6.2.2 - Misoldagi
belgilashlardan foydalanib1 ω(x, ∆_k) deb ∆_k qismiy yarim intervalning xarakteristik funksiyasini olsak1 h(x) funktsiyani quyidagi ko'rinishda yosish mumkin bo'ladi:

n

h(x) =
µ_k ω(x, ∆_k). (6.2.16)
k=1

Demak1 xulosa qilib shuni aytish mumkinki1 istalgan pog'onasimon funksiya har qanday [a, b] kesmada Riman bo'yicha integrallanuvchi bo'lar ekan. Bundan tashqari1 (6.2.14) tenglikka ko'ra1

-
b
h(x) dx =
a

µ_k

k=1
b

-
ω(x, ∆_k) dx =
a


k =1
µ_k|∆_k|.

∈
Bundan1 (6.2.15) ta'rifni hisobga olsak1 oraliq nuqtalar ξ_k [x_k−1, x_k) istalgancha tanlanganda ham1

-
b
h(x) dx =
a


k =1


h(ξ_k)∆x_k (6.2.17)

tenglikni olamiz. Boshqacha aytganda1 P bo'linishning qismiy intervallarida o'zgarmas qiymat qabul qiluvchi h(x) pog'onasimon funksiyadan olingan integral shu P bo'linishga mos keluvchi integral yig'indiga teng bo'lar ekan.

Integralning navbatdagi xossasi tengsizlik belgisi bilan bog'langan funksiyalardan olingan integrallar haqidadir.

1. 
   - Lemma. Berilgan f funksiya [a, b] kesmada Riman bo yicha integrallanuvchi bo lsin. Agar
   

f (x) ≥ 0, a ≤ x ≤ b (6.2.18) bo lsa, quyidagi tengsizlik bajariladi:



_-b
f (x) dx ≥ 0. (6.2.19)
a
Isbot. Agar f funksiyadan olingan integral manfiy bo'lganda edi1 (6.1.7) tenglikka ko'ra1 P bo'linishning diametri yetarlicha kichik bo'lganda1 σ_P (f ) integral yig'indi ham manfiy bo'lar edi. Ammo (6.2.18) shartga asosan f funksiyaning barcha integral yig'indilari musbatdir. Bu qarama-qarsilik lemmani isbotlaydi.

Q.E.D.

3. 
   - Teorema. Berilgan f va g funksiyalar [a, b] kesmada Riman bo yicha integrallanuvchi bo lsin. Agar
   

f (x) ≤ g(x), a ≤ x ≤ b (6.2.20) bo lsa, quyidagi tengsizlik bajariladi:

-
b
f (x) dx ≤
a
b

-
g(x) dx. (6.2.21)
a

Isbot bevosita 6.2.1 - Teorema va 6.2.1 - Lemmadan kelib chiqadi.