Matematik tahlil

k=1
bo'linishi deb shunday P = {x_k}ⁿ nuqtalar to'plamiga aytamizki1 ular
P = {a = x₀ < x₁ < ... < x_n = b}
shartni qanoatlantirsin. Har bir [x_k−1, x_k] qismiy segmentda biror ξ_k nuqtani tanlaymiz:

x_k−1 ≤ ξ_k ≤ x_k.

{ }
Ta'rif. Berilgan f funksiyaning P bo linish va ξ_j nuqtalar tanlanishiga mos integral yig indisi deb

σ_P (f ) = σ_P (f, {ξ_j}) =
songa aytiladi, bu yerda ∆x_k = x_k − x_k−1.


k =1


f (ξ_k) ∆x_k (6.1.3)

P bo'linishning diametri deb eng katta qismiy segmentning uzunligiga aytamiz:


d = d(P ) = max ∆x_k. (6.1.4)
1≤k≤n
Ta'rif. Agar ixtiyoriy ε > 0 olganda ham shunday δ = δ(ε) son topilsaki, d(P ) < δ shartni qanoatlantiruvchi har qanday P bo linish uchun ξ_j oraliq nuqtalarning tanlanishiga bog liq bo lmagan holda



→
| I − σ_P (f, {ξ_j}) | < ε (6.1.5) tengsizlik bajarilsa, I soni d(P ) 0 da (6.1.3) integral yig indilarning limiti deyiladi.
Bunda quyidagicha yoziladi:

I = lim
d(P )→0
σ_P (f ).

→
Ta'rif. Agar berilgan f funksiya uchun (6.1.3) yig indilarning d(P ) 0 dagi I
limiti mavjud bo lsa, u holda f funksiya [a, b] kesmada Riman bo yicha integrallanuvchi deyiladi.
Ko'rsatilgan I limit f funksiyadan [a, b] kesma bo'yicha olingan Riman aniq integrali deyiladi va quyidagicha belgilanadi:

_-b
f (x) dx = I (6.1.6)
a
( deb o'qiladi).
(6.1.6) tenglikda f funksiya integral ostidagi funksiya deb1 a soni integralning quyi chegarasi va b soni esa integralning yuqori chegarasi deb ataladi.
Eslatma. Berilgan f funksiyaning [a, b] kesmada Riman bo'yicha integrallanuvchi
bo'lishi uchun istalgan integral yig'indining quyidagi:

σ_P (f ) =


b

-
f (x) dx + α_P (f ) (6.1.7)
a

ko'rinishga ega bo'lishi zarur va yetarli1 bu yerda α_P (f ) bo'linish diametri kichiklashganda istalgancha kichik qilish mumkin bo'lgan kattalikdir.

3. 
   N'yuton-Leybnits formulasi. Ushbu bandda biz differensial hisobni integral hisob bilan bog'lovchi asosiy formulani isbotlaymiz. Tarixan shunday sodir bo'lganki1 bu formulaning turli variantlarini har xil vaqtlarda bir-biridan bog'liqsiz ravishda ko'pgina matematiklar isbotlashgan. N'yuton xam bu formula haqida o'z ustozi Barroudan habar topib1 undan ko'p foydalangan. Lekin matematik adabiyotlarda ushbu formulani1 differensial va integral hisobni shakillanishida eng katta hissa qo'shganligiga hurmat ramzi sifatida1 N'yuton va Leybnits nomlari bilan bog'lashadi. Darhaqiqat1 fan tarixchilarining mehnati zoyi ketmadi va hozir bu formulani ko'pincha sodda qilib integral hisobning asosiy formulasi deb atashadi.
   

Riman integralining yuqoridagi integral yig'indilar limiti sifatida keltirilgan ta'rifi sal uzunroq va murakkablashgan bo'lib ko'rinishiga qaramasdan1 bu ta'rif yordamida integral hisobi asosiy teoremasining eng sodda isbotini berish mumkin.

6.1.1 - Teorema (N'yuton-Leybnits formulasi). Faraz qilaylik, f funksiya [a, b] kesmada Riman bo yicha integrallanuvchi bo lsin. Bundan tashqari, F funksiya [a, b] kesmada uzluksiz bo lib, har bir ichki nuqtada differensiallanuvchi bo lsin va

F^t(x) = f (x), a < x < b (6.1.8)
tenglik bajarilsin.
U holda quyidagi

-
b
f (x) dx = F (b) − F (a) (6.1.9)
a
formula (integral hisobning asosiy formulasi) o rinli bo ladi.
Isbot. Berilgan [a, b] kesmaning ixtiyoriy P = {a = x₀ < x₁ < ... < x_n = b} bo'linishini olamiz. Lagranj formulasiga asosan1 har qanday qismiy [x_k−1, x_k] kesmada shunday ξ_k nuqta topiladiki1 u uchun
F (x_k) − F (x_k−1) = F^t(ξ_k)∆x_k
tenglik bajariladi. Bu tenglikni1 (6.1.8) ga ko'ra1
F (x_k) − F (x_k−1) = f (ξ_k)∆x_k (6.1.10) ko'rinishda yozish mumkin. Endi (6.1.10) tengliklarni k bo'yicha 1 dan n gacha yig'ib1 zaruriy qisqartirishlarni bajarsak1
n n

F (b) − F (a) = [F (x_k) − F (x_k−1)] =
f (ξ_k)∆x_k (6.1.11)

tenglikni olamiz.

k=1
k=1

Bu tenglikning chap tarafi [a, b] kesmaning bo'linishiga bog'liq emas. Tenglikning o'ng tarafi esa integral yig'indidan iborat bo'lib1 uning limiti f funktsiyadan [a, b] kesma bo'yicha olingan integralga teng. Shunday ekan1 (6.1.11) tenglikda limitga o'tib1 talab qilingan (6.1.9) formulani olamiz.