Matematik tahlil

Q.E.D.

Darbuning asosiy lemmasidan Darbu ma'nosida integrallanishning navbatdagi yana bir kriteriysini olamiz.

10. 
    - Jumla. Berilgan [a, b] kesmada chegaralangan f funksiyaning Darbu ma nosida integrallanuvchi bo lishi uchun Darbuning quyi yig indilari limiti Darbuning yuqori yig indilari limitiga teng bo lishi, ya ni
    

lim

d(P )→0
s(f, P ) = lim
d(P )→0
S(f, P ) (6.3.32)

tenglikning bajarilishi zarur va yetarlidir.
Isbot bevosita 9 - Jumla va Darbu ma'nosidagi integralning (6.3.16) ta'rifidan kelib chiqadi.

§ 6.4. Riman integrali va Darbu ma'nosidagi integralning ustma- ust tushishi

1. 
   Riman bo'yicha integrallanish kriteriysi.
   

1. 
   Ushbu paragrafdagi bizning asosiy maqsadimiz - Darbuning asosiy lemmasiga asoslanib Riman va Darbu integrallarining ustma-ust tushishini ko'rsatishdir.
   

1. 
   - Teorema. Berilgan f funksiya [a, b] kesmada Riman bo yicha integrallanuvchi bo lishi uchun uning shu kesmada Darbu ma nosida integrallanuvchi bo lishi zarur
   

va yetarli. Bunda Riman integrali Darbu ma nosidagi integralga teng bo ladi.
Isbot. 1) Dastavval f funksiya [a, b] kesmada Darbu ma'nosida integrallanuvchi va P = {a = x₀ < x₁ < ... < x_n = b} shu kesmaning ixtiyoriy bo'linishi bo'lsin.

∈
Agar m_k va M_k lar orqali f funksiyaning [x_k−1, x_k] qismiy kesmadagi mos ravishda aniq quyi va aniq yuqori chegaralarini belgilasak1 ξ_k [x_k−1, x_k] ni ixtiyoriy
tanlaganda ham

tengsizlik bajariladi.

m_k ≤ f (ξ_k) ≤ M_k

Bu qo'shaloq tengsizlikni ∆x_k ga ko'paytirib1 k bo'yicha yig'ib chiqsak1
s(f, P ) ≤ σ_P (f, {ξ_k}) ≤ S(f, P ) (6.4.1)
tengsizlikni olamiz.
10 - Jumlaga ko'ra1 (6.4.1) ning chap qismida turgan Darbuning quyi yig'indilari ham1 uning o'ng qismida turgan Darbuning yuqori yig'indilari ham bitta limitga intiladi. Shuning uchun1 (6.4.1) tengsizlikka asosan1 integral yig'indilar ham xuddi o'sha limitga intiladi. Bu esa1 o'z navbatida1 Riman integrali mavjud bo'lib1 Darbu ma'nosidagi integralga tengligini anglatadi.

2) Endi f funksiya [a, b] kesmada Riman bo'yicha integrallanuvchi va P = {a = x₀ < x₁ < ... < x_n = b} shu kesmaning ixtiyoriy bo'linishi bo'lsin. Bu bo'linish diametrini d(P ) orqali balgilaymiz. Har bir [x_k−1, x_k] kesmadan ξ_k nuqtani shunday

tanlaymizki1