Matematik tahlil

Q.E.D.

( Natija. Agar f funksiya [a, b] kesmada integrallanuvchi bo lsa, ixtiyoriy c ∈

a, b) uchun bu funksiya [a, c] va [c, b] kesmalarda ham integrallanuvchi bo lib,

tenglik bajariladi.


c

-
f (x) dx =
a


b

-
f (x) dx +
a


c

-
f (x) dx (6.4.8)
b

≤ ≤
Eslatma. Mazkur tasdiq 6.2.2 - Teoremaga teskari tasdiqdir. O'sha teoremada (6.4.8) tenglik a b c munosabatni qanoatlantiruvchi har qanday a, b, c sonlar uchun isbotlangan edi. Biz integralni1 uning yuqori chegarasi quyi chegarasidan kichik bo'lganda1 shunday aniqlashimiz mumkinki1 natijada (6.4.8) tenglik istalgan a, b, c sonlar uchun o'rinli bo'ladi. Chunonchi1 agar a < b bo'lsa1

deymiz.
a

-
f (x) dx = −
b
b

-
f (x) dx (6.4.9)
a

Ravshanki1 integralni bunday aniqlashimizda (6.4.8) tenglik har qanday a, b, c haqiqiy sonlar uchun o'rinli bo'ladi (albatta1 bunda integral ostidagi funksiya mos integrallash oraliqlarida aniqlangan bo'lishi zarur).
Shuni alohida qayd etish joizki1 (6.4.9) tenglik isbotlanmaydi1 balki u1 integralning yuqori chegarasi quyi chegarasidan kichik bo'lganda1 ta'rif sifatida qabul qilinadi.

3. 
   Agar funksiyaning kesmadagi tebranishi tushunchasini kiritsak1 (6.4.5) integrallanish kriteriysini boshqa (matematik adabiyotlarda ko'p uchraydigan) ko'rinishda yozib
   

olish mumkin.
Ta'rif. Faraz qilaylik, ∆ sonlar o qidagi ixtiyoriy kesma bo lib, u berilgan f funksiyaning aniqlanish sohasiga kirsin. U holda f funksiyaning ∆ kesmadagi tebranishi deb quyidagi kattalikka aytiladi:

ω(f, ∆) = sup
x∈∆, y∈∆
|f (x) − f (y)|. (6.4.10)

Masalan1 agar f (t) funksiya temperaturaning vaqtga bo'liqligini ko'rsatsa va ∆ orqali 24 soatga teng bo'lgan vaqt intervalini belgilasak1 (6.4.10) kattalik temperaturaning bir kecha-kunduzdagi o'rtacha tebranishlarini anglatadi.
Biror kesmadagi funksiyaning tebranishi uning shu kesmadagi aniq yuqori va aniq quyi chegaralarining ayirmasiga tengligini tekshirish qiyin emas:

ω(f, ∆) = sup f (x) − inf
f (y). (6.4.11)

x∈∆
y∈∆

Tebranish tushunchasidan foydalanib1 6.4.2 - Teoremani navbatdagi ko'rinishda keltirish mumkin.

2. 
   * - Teorema (Riman bo'yicha integrallanish kriteriysi). Chegaralangan f funksiyaning [a, b] kesmada Riman bo yicha integrallanuvchi bo lishi uchun ixtiyoriy ε > 0 olganda ham berilgan kesmaning shunday
   

P = {a = x₀ < x₁ < ... < x_n = b}

bo linishi topilib, u uchun

n
ω(f, ∆_k)∆x_k < ε (6.4.12)
k=1

tengsizlikning bajarilishi zarur va yetarli, bu yerda ∆_k = [x_k−1, x_k].