Matematik tahlil

S(f, P ) − S(f, P^∗) = M_m ∆x_m − M_m^t ∆^tx_m − M_m^tt ∆^ttx_m, (6.3.18)
bu yerda M_m^t va M_m^tt sonlar f funksiyaning mos ravishda ∆^t_m va ∆^t_m^t yarim

−

−
intervallardagi aniq yuqori chegaralari bo'lib1 ∆^tx_m = (x^∗ x_m−1) va ∆^ttx_m = (x_m x^∗).
Agar o'z-o'zidan ko'rinib turgan

tengsizliklarni va

_Mmt
≤ M_m, M_m^tt ≤ M_m

∆^tx_m + ∆^ttx_m = ∆x_m

tenglikni hisobga olsak1 (6.3.18) dan talab qilingan tengsizlik kelib chiqadi:


S(f, P ) − S(f, P^∗) = (M_m − M_m^t )∆^tx_m + (M_m − M_m^tt )∆^ttx_m ≥ 0. (6.3.19)
Xuddi shunga o'xshash (6.3.17) dagi tengsizliklardan chapdagisi ham isbotlanadi. Q.E.D.

1 - Jumla (Darbu ma'nosida integrallanish kriteriysi). Chegaralangan f funksiyaning Darbu ma nosida integrallanuvchi bo lishi uchun ixtiyoriy ε > 0 olganda ham shunday P_ε bo linish topilib, uning uchun

S(f, P_ε) − s(f, P_ε) < ε (6.3.20)
tengsizlikning bajarilishi zarur va yetarli.
Isbot. 1. Avval f funksiya Darbu ma'nosida integrallanuvchi bo'lsin1 deylik. U holda1 (6.3.16) ta'rifga ko'ra1
sup s(f, P ) = I(f ) = I_D = I(f ) = inf S(f, P ). (6.3.21)
_P P
Aniq chegaralarning ta'riflariga binoan shunday ikki P₁ = P₁(ε) va P₂ = P₂(ε)
bo'linishlar topiladiki1 ular uchun

ε ε

s(f, P₁) > I_D − ₂ , S(f, P₂) < I_D + ₂ (6.3.22)
tengsizliklar bajariladi.
Bu ikki P₁ va P₂ bo'linishlarni birlashtirish natijasida hosil bo'lgan bo'linishni P_ε simvoli bilan belgilaymiz. U holda1 6 - Jumlaga ko'ra1 P₁ va P₂ bo'linishlardan P_ε bo'linishga o'tishda quyi yig'indilar faqat o'sishi mumkin va yuqori yig'indilar esa1 aksincha1 faqat kamayishi mumkin. Shuning uchun1 (6.3.22) ga ko'ra1

ε ε

s(f, P_ε) > I_D − ₂ , S(f, P_ε) < I_D + ₂ .
Bundan1 shubhasiz1 (6.3.20) tengsizlik kelib chiqadi.
2. Endi (6.3.20) shart bajarilsin1 deylik. Ma'lumki1 istalgan P bo'linish uchun
s(f, P ) ≤ I(f ) ≤ I(f ) ≤ S(f, P )
tengsizliklar bajariladi. Shunday ekan1 istalgan bo'linish uchun quyidagi baho o'rinli bo'ladi:
I(f ) − I(f ) ≤ S(f, P ) − s(f, P ).

Bu bahoda P = P_ε desak1 (6.3.20) ga ko'ra1

I(f ) − I(f ) ≤ ε (6.3.23)
tengsizlikka ega bo'lamiz.
Ravshanki1 bundan1 ε > 0 ixtiyoriyligiga ko'ra1 I(f ) = I(f ) tenglik kelib chiqadi.
Demak1 f funksiya Darbu ma'nosida integrallanuvchi ekan.

Q.E.D.

7. 
   -Jumlada o'rnatilgan Darbu ma'nosidagi integrallanish kriteriysi berilgan funksiyaning integrallanuvchi bo'lishi haqidagi masalasini to'la hal qiladi.
   

Navbatdagi jumlalar integralga berilgan ikki ta'rifni1 ya'ni Darbuning aniq yuqori va aniq quyi integrallarning ustma-ust tushishi ma'nosidagi ta'rifi bilan Rimanning integral yig'indilar limiti ma'nosidagi ta'riflarini o'zaro bog'lashga yordam beradi. Chunonchi1 bu jumlalarda Darbuning quyi integrali quyi integral yig'indilarning1 Darbuning yuqori integrali esa yuqori integral yig'indilarning limiti ekani ko'rsatiladi.
Dastavval1 6 - Jumlaga qo'shimcha ravishda1 quyi va yuqori yig'indilarning berilgan bo'linishga qoshimcha birnecha nuqtalar qo'shilgandagi o'zgarishini baholaymiz.

8. 
   - Jumla. Berilgan f funksiya [a, b] kesmada chegaralangan bo lib, M bu funksiyaning [a, b] kesmada aniq yuqori va m esa uning aniq quyi chegaralari bo lsin. Bundan tashqari, P berilgan [a, b] kesmaning ixtiyoriy bo linishi va d = d(P ) uning diametri bo lsin.
   

Agar P^∗ bo linish P bo linishga yangi N ta nuqta qo shish bilan hosil bo lgan
bo linish bo lsa, Darbuning quyi yig indilari
s(f, P^∗) ≤ s(f, P ) + N (M − m)d(P ) (6.3.24)
tengsizlikni va Darbuning yuqori yig indilari esa
S(f, P ) ≤ S(f, P^∗) + N (M − m)d(P ) (6.3.25)
tengsizlikni qanoatlantiradi.
Isbot. Ravshanki1 (6.3.24) va (6.3.25) tengsizliklarni N = 1 da isbotlash yetarli1 chunki umumiy holga N marta bittadan nuqtalar qo'shish bilan o'tish mumkin.
Shuning uchun1 masalan1 (6.3.25) tengsizlikni N = 1 da isbotlaymiz.
Aytaylik1 boshlang'ich bo'linish P = {a = x₀ < x₁ < ... < x_n = b} ko'rinishga ega bo'lib1 yangi P^∗ bo'linish (x_m−1, x_m) intervalda yotgan bitta x^∗ nuqtani1 yani
x_m−1 < x^∗ < x_m
shartni qanoatlantiruvchi nuqtani qo'shishdan hosil bo'lsin.
Bunda ∆_m = [x_m−1, x_m) qismiy yarim interval ikkiga bo'linadi1 ya'ni
∆_m = ∆^t_m ∪ ∆^t_m^t ,
bu yerda ∆^t_m = [x_m−1, x^∗) va ∆^t_m^t = [x^∗, x_m).
Ravshanki1 bu qo'shilishda (6.3.9) yig'indida faqat m - nomerli bitta had o'zgaradi.
Demak1 xuddi 6 - Jumla isbotidagidek ((6.3.19) ga qarang)1


S(f, P ) − S(f, P^∗) = (M_m − M_m^t )∆^tx_m + (M_m − M_m^tt )∆^ttx_m, (6.3.26)
bu yerda M_m^t va M_m^tt sonlar f funksiyaning mos ravishda ∆^t_m va ∆^t_m^t yarim
intervallardagi aniq yuqori chegaralari bo'lib1 ∆^tx_m = (x^∗ − x_m−1) va ∆^ttx_m = (x_m − x^∗).

Nihoyat1 o'z-o'zidan ko'rinib turgan

(M_m − M_m^t ) ≤ (M − m), (M_m − M_m^tt ) ≤ (M − m)
tengsizliklarni hisobga olsak1 (6.3.26) dan talab qilingan (6.3.25) bahoni N = 1 da olamiz:
S(f, P ) − S(f, P^∗) ≤
≤ (M − m)∆^tx_m + (M − m)∆^ttx_m = (M − m)∆x_m ≤ (M − m)d(P ).
Demak1 yuqorida qayd qilinganidek1 (6.3.25) tengsizlik ixtiyoriy N uchun ham o'rinli bo'lar ekan.
Xuddi shu singari (6.3.24) tengsizlik ham isbotlanadi. Q.E.D.

Ta'rif. Agar istalgan ε > 0 uchun shunday δ > 0 topilsaki, ixtiyoriy P bo linish olganda ham d(P ) < δ shartdan

|s(f, P ) − A| < ε

→
tengsizlik kelib chiqsa, A son Darbuning quyi s(f, P ) yig indilarining d(P ) 0 dagi limiti deyiladi.

→
Xuddi shunga o'xshab Darbuning yuqori S(f, P ) yig'indilarining d(P ) 0 dagi limiti aniqlanadi.

9. 
   
   →
   - Jumla (Darbuning asosiy lemmasi). Berilgan f funksiya [a, b] kesmada aniqlangan va chegaralangan bo lsin. U holda, d(P ) 0 da Darbuning quyi va yuqori yig indilarining limiti mavjud bo lib, quyi yig indilar limiti Darbuning f funksiyadan olingan quyi integraliga teng, ya ni
   

lim

d(P )→0
s(f, P ) = I,

yuqori yig indilari limiti esa Darbuning f funksiyadan olingan yuqori integraliga teng, ya ni

bo ladi.
lim
d(P )→0


S(f, P ) = I

Isbot. Avval Darbuning yuqori yig'indilarini qaraymiz va istalgan ε > 0 uchun shunday δ = δ(ε) > 0 topilishini ko'rsatamizki1 diametri δ dan kichik bo'lgan ixtiyoriy P bo'linish uchun

tengsizlik o'rinli bo'lsin.
I ≤ S(f, P ) < I + ε (6.3.27)

Buning uchun aniq quyi chegara ta'rifidan foydalanamiz. Bu ta'rifga ko'ra1 istalgan
ε > 0 olganda ham shunday P_ε bo'linish topiladiki1 u uchun

ε

tengsizlik bajariladi.


S(f, P_ε) < I +
₂ (6.3.28)

Aytaylik1 N = N (ε) son P_ε bo'linish nuqtalari soni bo'lsin. U holda
ε 1

δ = δ(ε) =
₂ · _{N (M − m)} (6.3.29)

−
deymiz1 bu yerda M orqali f funksiyaning [a, b] kesmadagi aniq yuqori chegarasi va m orqali esa bu funksiyaning aniq quyi chegarasi belgilangan (biz f o'zgarmasga aynan teng emas deb hisoblashimiz mumkin1 shuning uchun1 M m > 0).

{ }
Endi P diametri d(P ) < δ shartni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy bo'linish bo'lsin. Modomiki1 I yuqori yig'indi S(f, P ) lardan [a, b] kesmaning barcha P bo'linishlari bo'yicha olingan aniq quyi chegara ekan1 biz tanlagan bo'linish uchun (6.3.27) da chapdagi tengsizlik bajariladi. Shuning uchun1 bu bo'linish uchun (6.3.27) dagi tengsizlikning o'ng qismini isbotlash yetarli.
Tanlab olgan P bo'linishimizga P_ε bo'linishning barcha nuqtalarini qo'shishdan hosil bo'lgan bo'linishni P^∗ simvol orqali belgilaymiz. U holda1 8 - Jumlani qo'llab1 (6.3.29) tanlashga ko'ra1

2
S(f, P ) ≤ S(f, P^∗) + N · (M − m)δ = S(f, P^∗) + ^ε
(6.3.30)

tengsizlikni olamiz.
Agar P^∗ bo'linshni P_ε bo'linishga P bo'linishning barcha nuqtalarini qo'shish bilan hosil bo'lgan deb qarasak1 6 - Jumlaga ko'ra1
S(f, P^∗) ≤ S(f, P_ε). (6.3.31)

ε
Nihoyat1 agar (6.3.30) tengsizlikda avval (6.3.31)1 so'ngra (6.3.28) baholardan foydalansak1
S(f, P ) ≤ S(f, P_ε) + ₂ < I + ε
tengsizlikka ega bo'lamiz. Demak1 (6.3.27) dagi tengsizlikning o'ng tarafi ham bajarilar ekan.
Albatta1 (6.3.27) tengsizlikdan Darbuning yuqori integrali Darbuning yuqori yig'indilarining limiti ekani bevosita kelib chiqadi.
Xuddi shunga o'xshab1 Darbuning quyi yig'indilarining limiti Darbuning quyi integrali ekani isbotlanadi.