Matematik tahlil

f (ξ_k) > M_k −
d(P )
(6.4.2)

b − a

tengsizlik bajarilsin. Bundan tashqari1 θ_k ∈ [x_k−1, x_k] nuqtani shunday tanlaymizki1
d(P )

tengsizlik bajarilsin.
f (θ_k) < m_k +

b − a

(6.4.3)

Ikki (6.4.2) va (6.4.3) tengsizliklarni birgalikda quyidagi
d(P )


d(P )

f (θ_k) − _{b − a} < m_k ≤ M_k < f (ξ_k) +

b − a

ko'rinishda yozish mumkin.
Bu qo'shaloq tengsizlikni ∆x_k ga ko'paytirib1 k bo'yicha yig'ib chiqsak1
σ_P (f, { θ_k}) − d(P ) < s(f, P ) ≤ S(f, P ) < σ_P (f, {ξ_k}) + d(P ) (6.4.4)
tengsizlikka ega bo'lamiz.

→
Ushbu tengsizlikning chap va o'ng tarafidagi integral yig'indilar1 f funksiya Riman bo'yicha integrallanuvchi bo'lgani sababli1 d(P ) 0 da f funksiyadan olingan integralga intiladi. Bundan chiqdi1 xuddi shu limitga Darbuning quyi va yuqori yig'indilari ham intiladi. Nihoyat1 10 - Jumlaga asosan1 bundan f funksiyadan olingan Darbu ma'nosidagi integral mavjud bo'lib1 u Riman bo'yicha integralga tengligi kelib chiqadi.

Q.E.D.

2. 
   Isbotlangan teorema degan atamani tashlab1 keyinchalik bunday integrallarni ham Riman integrali deyishga imkon beradi. Shuni aytish joizki1 bu teoremaga asosan1 avval o'rnatilgan Darbu ma'nosida integrallanish kriteriysi bir vaqtning o'zida Riman bo'yicha integrallanish kriteriysi ham bo'ladi. Eslatib o'tamiz1 m_k va M_k simvollar orqali mos ravishda (6.3.2) va (6.3.6)
   

tenglilar bilan aniqlangan sonlar belgilangan edi.

TeopeMa 6.4.2 (Riman bo'yicha integrallanish kriteriysi). Chegaralangan f funksiyaning [a, b] kesmada Riman bo yicha integralanuvchi bo lishi uchun ixtiyoriy ε > 0 olganda ham shu kesmani quyidagi:

n
(M_k − m_k)∆x_k < ε (6.4.5)
k=1
tengsizlikni qanoatlantiruvchi P bo linishining topilishi zarur va yetarli. Isbot o'z-o'zidan ko'rinib turgan

n
S(f, P ) − s(f, P ) = (M_k − m_k)∆x_k
k=1
tenglik va 7 - Jumladan bevosita kelib chiqadi.

Yuqoridagi kriteriy Riman integralining navbatdagi muhim xossalarini isbotlashga imkon beradi.

⊂
6.4.3 - Teorema. Agar f funksiya [a, b] kesmada integrallanuvchi bo lsa, bu funksiya istalgan [c, d] [a, b] kesmada ham integrallanuvchi bo ladi.

⊂
Isbot. Berilgan f funksiya [a, b] kesmada integrallanuvchi bo'lib1 [c, d] [a, b] bo'lsin. Integrallanish kriteriysiga (6.4.2 - Teorema) ko'ra1 ixtiyoriy ε > 0 olganda ham [a, b] kesmaning shunday P_ε bo'linishi topiladiki1 uning uchun navbatdagi baho bajariladi:


S(f, P_ε) − s(f, P_ε) < ε. (6.4.6)
Agar biz P_ε bo'linishga ikki c va d nuqtalarni qo'shsak1 7 - Jumlaga asosan1 yuqori yig'indilar faqat kamayishi va quyi yig'indilar esa faqat oshishi mumkin. Shuning uchun (6.4.6) tengsizlik saqlanadi. Demak1 umumiylikni buzmagan holda1 biz P_ε bo'linish c va d nuqtalarni o'z ichiga oladi deyishimiz mumkin.
Shunday ekan1 P_ε bo'linishning [c, d] kesmada yotuvchi nuqtalari [c, d] kesmaning biror P^∗ bo'linishini hosil qiladi. Bundan tashqari1 shubhasiz1
S(f, P^∗) − s(f, P^∗) ≤ S(f, P_ε) − s(f, P_ε) . (6.4.7)
Agar (6.4.6) va (6.4.7) tengsizliklarni birgalikda qarasak1 [c, d] kesmaning P^∗
bo'linishiga mos kelgan Darbuning yuqori S(f, P^∗) va quyi s(f, P^∗) yig'indilari
uchun quyidagi
S(f, P^∗) − s(f, P^∗) < ε
tengsizlikni olamiz. Demak1 6.4.2 - Teoremaga asosan1 f funksiya [c, d] kesmada integrallanuvchi ekan.