Matematik tahlil

1
1

Teorema shartiga asosan ((6.6.14) ga qarang)1 g funksiyaning cheksizlikdagi limiti nolga teng. Bundan chiqdi1 ixtiyoriy ε > 0 olganda ham shunday A = A(ε)

topiladiki1 A^t > A bo'lganda
g(A^t) < ^ε
2M
tengsizlik bajariladi. Agar bu bahoni (6.6.18) ga qo'ysak1

¹-

1
_Att

1
f (x) g(x) dx < ε
1_At 1
tengsizlikka ega bo'lamiz. Demak1 Koshi kriteriysiga (6.6.1 - Teorema) asosan1 (6.6.15) integral yaqinlashar ekan.

Q.E.D.

2. 
   - Misol. Quyidagi integralni yaqinlashishga tekshiring:
   

Agar
dx, p > 0. (6.6.19)

^-+∞sin x
_xp
1

1

f (x) = sin x, g(x) =
_xp
desak1 Dirixle-Abel alomatining barcha shartlari bajarilishini tekshirish qiyin emas. Demak1 (6.6.19) integral yaqinlashadi.

Dirixle-Abel alomati yordamida xosmas integrallarning uzoqlashishini ham ko'rsatish mumkin.

3. 
   
   -
   - Misol. Ushbu
   

^+∞sin² x

x

1


dx (6.6.20)

xosmas integralning uzoqlashishini ko'rsating.
Buning uchun quyidagi tenglikdan foydalanamiz:

1 ₌ cos 2x _{+ 2} sin² x

x x x

. (6.6.21)

Bu tenglikning o'ng tarafidagi birinchi kasrdan olingan xosmas integral Dirixle- Abel alomatiga asosan yaqinlashadi. Ravshanki1 bu yerdagi ikkinchi kasrdan olingan xosmas integral (6.6.20) dagi integralni ikkilanganiga teng. Shunday ekan1 agar (6.6.20) integral yaqinlashganda edi1 6.6.2 - Teoremaga ko'ra1 (6.6.21) tenglikning chap tarafida turgan kasrdan olingan xosmas integral ham yaqinlashar edi. Ammo1
6.6.1 - Misolda ko'rsatilganidek1 bu integral uzoqlashadi. Demak1 (6.6.20) integral ham uzoqlashar ekan.

Shuni aytish zarurki1 navbatdagi misolda ko'rsatilganidek1 birinchi turdagi xosmas integralning yaqinlashishidan integral ostidagi funksiyaning cheksizlikda nolga intilishi va xattoki1 uning chegaralanganligi ham kelib chiqmaydi.

4. 
   - Misol. Quyidagi xosmas integralni yaqinlashishga tekshiring:
   

-
+∞
x^q sin(x^p) dx, p > 0 q ≥ 0. (6.6.22)
1

Buning uchun1 ko'paytmasi (6.6.22) integral ostidagi funksiyaga teng bo'lgan1

f (x) = x^p−1 sin(x^p), g(x) = x^q−p+1
funksiyalarni qaraymiz.
Ravshanki1 f (x) funksiyaning boshlang'ich funksiyalaridan biri chegaralangan
1 _p
−_p cos(x ) funksiya bo'lib1 g(x) funksiya esa1 q − p + 1 < 0 shart bajarilganda1
cheksizlikda nolga monoton yaqinlashadi. Shunday ekan1 Dirixle-Abel alomatiga ko'ra1
p > q + 1
shart bajarilganda (6.6.22) xosmas integral yaqinlashadi.
Ammo1 q yuqoridagi shartni qanoatlantirgan holda1 istalgancha katta musbat son bo'la oladi. Bundan chiqdi1 yarim to'g'ri chiziqda yaqinlashuvchi integral ostidagi funksiya shu sohada chegaralanmagan bo'lishi ham mumkin ekan.

4. 
   Xosmas integrallarni hisoblashda o'rniga qo'yish (o'zgaruvchilarni almashtirish) va bo'laklab integrallash usullaridan foydalaniladi.
   

1. 
   - Tasdiq (o'zgaruvchilarni almashtirish). Faraz qilaylik, g(t) funksiya
   

≥
t α yarim to g ri chiqda uzluksiz differenaiallanuvchi bo lib, quyidagi shartlarni qanoatlantirsin:

1. 
   g(α) = a;
   

2.