Matematik tahlil

lim

ε→0+0
b−ε

-
f (x) dx. (6.6.37)
a

Qayd etamizki1 oddiy o'zgaruvchini almashtirish yordamida ikkinchi tur xosmas integralni birinchi tur xosmas integralga keltirish mumkin. Chunonchi1 (6.6.37) integralda

almashtirishni bajarsak1
_-b−ε
1
t =

b − x

-
1/ε


1 ^\ dt

a

tenglikka ega bo'lamiz.

f (x) dx =
f
1/(b−a)
b − _{t t2}

Bu tenglikda ε → 0 + 0 deb limitga o'tsak1

_-b _-∞
1 ^\ dt

f (x) dx = f
^a 1/(b−a)
b − _{t t2} (6.6.38)

tenglik hosil bo'ladi. Bunda har ikkala xosmas integral bir vaqtda yoki yaqinlashadi yoki uzoqlashadi.

3. 
   Ikkinchi tur xosmas integrallar uchun ham absolyut va shartli yaqinlashish
   

| |

| |
tushunchalarini kiritish mumkin. Chunonchi1 agar f (x) funksiyadan olingan ikkinchi tur xosmas integral yaqinlashsa1 f (x) funksiyadan olingan xosmas integral absolyut yaqinlashadi deyiladi. Bundan tashqari1 agar f (x) dan olingan integral yaqinlashib1 f (x) dan olingan integral uzoqlashsa1 f funksiyaning integrali shartli yaqinlashadi deyiladi.
6.6.8 - Misol. Quyidagi:

-
1
¹ cos ¹ dx x x
0
ikkinchi tur xosmas integralning shartli yaqinlashishini ko'rsatamiz.

1

Agar t =

x

deb o'zgaruvchini almashtirsak1

-

-
1 ^1/ε
1 cos ¹ dx =
cos t

dt

tenglikni olamiz. Bundan chiqdi1

x x t

ε 1

-
1

¹ cos ¹

x x

0


dx =
^+∞cos t

-
t

1

dt,

chunki o'ng tarafdagi integral Dirixle-Abel alomatiga ko'ra yaqinlashadi. Demak1 chap tarafdagi integral ham yaqinlashar ekan.

| |

dt
t
Agar berilgan integral ostidagi funksiyani f (x) deb belgilasak1 f (x) funksiyadan olingan integral uzoqlashishini ko'rsatish qiyin emas. Haqiqatan1 agar u yaqinlashganda edi1 yana yuqoridagi almashtirishni bajarib1

1

1 1

cos dx =
x x
^-1 1 ₁ 1



0



^-+∞| cos t|

1

tenglikni olar edik1 ammo o'ng tarafdagi integral1 xuddi 6.6.5 - Misoldagi singari1 uzoqlashadi.
Shunday qilib1 qaralayotgan integralning shartli yaqinlashishi isbotlandi.

≥

→ ∞

-
Shuni aytish kerakki1 manfiy bo'lmagan f (x) 0 funksiyadan (a, b] yarim kesmada olingan integral faqat bitta holda uzoqlashadi1 ya'ni [a+ε, b] kesmada bu funksiyadan olingan qismiy integrallar ε 0 da + ga intilgandagina uzoqlashadi. Shuning uchun bu holda

deb yozishadi.

Masalan1
b
|f (x)| dx = +∞
a

1

_{1 x} cos _{x 1} dx = +∞.

0

^-1 1 ₁ 1

Ushbu belgilash faqat manfiy bo'lmagan funksiyalardan olingan integral uzoqlashganda ishlatiladi.

4. 
   
   −
   Berilgan funksiya [a, b] kesmaning biror ichki c nuqtasida maxsuslikka ega bo'lganda ham1 undan olingan ikkinchi tur xosmas integrallar o'rganiladi. Chunonchi1 agar f funksiya ixtiyoriy ε > 0 uchun [a, c ε] va [c + ε, b] ko'rinishdagi kesmalarda integrallanuvchi bo'lsa1 u holda xosmas integral ikki xosmas integralning yig'indisi sifatida aniqlanadi:
   

-
b
f (x) dx =
a
c

-
f (x) dx +
a
b

-
f (x) dx.
c

 _-

b
Bunday aniqlangan ikkinchi tur xosmas integrallar uchun Koshi yoki bosh qiymat ma'nosidagi integral tushunchasini kiritish mumkin. Chunonchi1

-
b
(x) dx = lim
c−ε


f (x) dx +
- f (x) dx


. (6.6.39)

V.p. f
a
ε→0+0
a
c+ε 

[ 6.6.9 - Misol. Agar f funksiya [−1, 1] kesmada toq bo'lib (ya'ni barcha x ∈

− − −
1, 1] lar uchun f ( x) = f (x) bo'lib)1 x = 0 nuqtada maxsuslikka ega bo'lsa1 uning Koshi ma'nosidagi xosmas integralini hisoblang.
Berilgan funksiyaning ta'rifiga ko'ra1

-
−ε
f (x) dx =
−1
1

-
f (−x) dx = −
ε
1

-
f (x) dx
ε

tenglikka ega bo'lamiz. Shuning uchun1

-
−ε
f (x) dx +
−1
1

-
f (x) dx = 0.
ε

Demak1 nolda maxsuslikka ega bo'lgan toq funksiya uchun

bo'lar ekan.

V.p.

_-1
−1
f (x) dx = 0

6.6.10.- Misol. Agar a < c < b bo'lsa1 quyidagi tenglikni isbotlang:

V.p.

^b dx x − c

= ln

b − c

c − a


. (6.6.40)

-
a
Agar ε > 0 yetarlicha kichik bo'lsa1 quyidagini olamiz:

-
c−ε _dx

−
x c

a
b

-
+
c+ε

dx x − c

= ln

ε

|a − c|

+ ln

b − c ε

= ln

b − c _.

c − a

Demak1 yuqoridagi (6.6.39) ta'rifga ko'ta1 talab qilingan (6.6.40) tenglik bajarilar ekan.

§ 6.7. Haqiqiy argumentli kompleks qiymatli funksiyalardan olingan aniq integral

1. Berilgan [a, b] kesmada aniqlangan f : [a, b] → C funksiya komleks qiymatlar qabul qilsin deylik. Bundan chiqdi1 shunday ikki haqiqiy funksiyalar u : [a, b] → R va v : [a, b] → R mavjudki1 ular uchun quyidagi tenglik o'rinli bo'ladi:

f (x) = u(x) + iv(x), a ≤ x ≤ b. (6.7.1)
Buday aniqlangan f funksiyadan Riman bo'yicha aniq integral xuddi haqiqiy qiymatli funksiyalar holidagidek olinadi. Chunonchi1 [a, b] kesmaning istalgan P bo'linishini qaraylik:
P = {a = x₀ < x₁ < x₂ < ... < x_n = b}.
Har bir qismiy [x_k−1, x_k] kesmada biror ξ_k nuqtani tanlaymiz:

x_k−1 ≤ ξ_k ≤ x_k.

Endi integral yig'indini tuzamiz:

σ_P (f ) = σ_P (f, {ξ_j}) =
bu yerda ∆x_k = x_k − x_k−1.


k =1


f (ξ_k) ∆x_k, (6.7.2)

∈
Agar ixtiyoriy ε > 0 olganda ham shunday δ > 0 topilsaki1 diametri d(P ) < δ bo'lgan har qanday P bo'linish va ξ_k [x_k−1, x_k] nuqtalarni ixtiyoriy tanlanishi uchun

|σ_P (f, {ξ_j}) − I| < ε

tengsizlik bajarilsa1 I kompleks son (6.7.2) integral yig'indilarning P bo'linish dimetri
d(P ) nolga intilgandagi limiti deyiladi.
Agar f funksiya integral yig'indilarining limiti mavjud bo'lsa1 bu funksiya [a, b] kesmada Riman bo'yicha integrallanuvchi deyiladi. Aynan shu limit f ning aniq integrali deb ataladi:

-
b
f (x) dx = lim

→
d(P ) 0
a


σ_P (f ). (6.7.3)

Kompleks qiymatli f (x) funksiya integrallanuvchi bo'lishi uchun uning haqiqiy u(x) va mavhum v(x) qismlarining integrallanuvchi bo'lishi zarur va yetarli. Bu tasdiqni va bunda bajariladigan quyidagi:

-
b
f (x) dx =
a


b b

-

-
u(x) dx + i
a a


v(x) dx. (6.7.4)

tenglikni isbotlash qiyin emas.
Ushbu tenglik yordamida kompleks qiymatli funksiyadan olingan integralning barcha asosiy xossalarini keltirib chiqarish mumkin.
Navbatdagi muhim xossani biz bevosita integral ta'rifidan foydalanib isbotlaymiz.

6.1.1 - Tasdiq. Agar f : [a, b] → C funksiya [a, b] kesmada integrallanuvchi bo lsa, |f (x)| funksiya ham [a, b] da integrallanuvchi bo lib,

tengsizlik bajariladi.


b

1

1

-

a
₁ f (x) dx₁ ≤


b

-
|f (x)| dx (6.7.5)
a

Isbot. Shartga ko'ra1 u(x) = Re f (x) va v(x) = Im f (x) funksiyalar integrallanuvchidir.

✓
Bundan
|f (x)| = u²(x) + v²(x)

✓
funksiyaning ham integrallanuvchi ekani kelib chiqadi. Haqiqatan1 o'z-o'zidan ko'rinib turgan
|f (x) − f (y)| = [u(x) − u(y)]² + [v(x) − v(y)]² ≤ |u(x) − u(y)| + |v(x) − v(y)|
tengsizlikdan istalgan ∆ kesma uchun shu kesmadagi tebranish
ω(f, ∆) ≤ ω(u, ∆) + ω(v, ∆)
tengsizlikni qanoatlantirishi kelib chiqadi.

| |
Shunday ekan1 Rimanning integrallanish kriteriysiga (6.4.2* - Teorema) asosan1 u va v funksiyalarning integrallanishidan f funksiyaning ham integrallanishi kelib chiqadi.
Endi (6.7.2) formulaga yig'indining moduli haqidagi (1.8.14) tengsizlikni qo'llasak1

bahoni olamiz.
|σ_P (f )| ≤


k =1
|f (ξ_k)| ∆x_k

→
Bu tengsizlikda d(P ) 0 deb limitga o'tsak1 talab qilingan (6.7.5) tengsizlikni olamiz.