Yuqorida biz chegaralangan f funksiyadan chegaralangan [a, b] kesmada olingan integral tushunchasini kiritdik. Ammo1 ko'p hollarda chegaralanmagan oraliqda olingan1 yoki chegaralanmagan funksiyadan olingan integrallarni o'rganishga to'g'ri keladi. Bunday integrallar xosmas deb atalib1 ular integral yig'indilarining limiti sifatida emas1 balki biz yuqorida o'rgangan () integrallarning limiti sifatida aniqlanadi.
Birinchi turdagi xosmas integrallar.
Mazkur bandda biz chegaralanmagan oraliqda olingan integrallarni chegaralangan oraliqda olingan integrallar limiti sifatida aniqlaymiz.
≥
Ta'rif. Faraz qilaylik, f (x) funksiya x a da aniqlangan bo lib, istalgan A > a
uchun [a, A] kesmada integrallanuvchi bo lsin. Agar
-A
lim
A→+∞
f (x) dx (6.6.1)
limit mavjud bo lsa, u f funksiyadan olingan birinchi turdagi xosmas integral deyiladi va
-
+∞
f (x) dx (6.6.2)
a
ko rinishda belgilanadi.
Bunda (6.6.2) xosmas integral yaqinlashadi deyishadi va
deb yozishadi.
+∞
-
f (x) dx = lim
A→+∞
A
-
f (x) dx (6.6.3)
a
Agarda (6.6.1) limit mavjud bo'lmasa1 (6.6.2) xosmas integral uzoqlashadi deyiladi.
Shuni aytish joizki1 (6.6.3) tenglik isbotlanmaydi1 u yaqinlashuvchi xosmas integral qiymatining ta'rifi deb hisoblanadi.
- Misol. Agar a > 0 bo'lsa1 p ∈ R ning quyidagi
-
+∞dx
xp (6.6.4)
a
xosmas integral yaqinlashadigan barcha qiymatlari topilsin.
Avval p /= 1 deylik. U holda har qanday A > a uchun1
-
A dx
=
xp
A1−p − a1−p
1 − p
. (6.6.5)
a
→ ∞
Ravshanki1 (6.6.5) tenglik o'ng tarafining A + dagi limiti faqat va faqat
p > 1 bo'lganda mavjuddir. Bu holda
-
+∞dx
=
xp
a1−p p − 1
, p > 1, a > 0 (6.6.6)
a
bo'ladi.
→ ∞ ∞
Bordiyu p < 1 bo'lsa1 (6.6.5) tenglikning o'ng tarafi A + da + ga uzoqlashadi. Nihoyat1 agar p = 1 bo'lsa1
-
A dx x
= ln A a
a
∞
tenglikka ega bo'lamiz va ushbu holda ham limit + ga tengdir. Buni odatda quyidagicha yozishadi:
- dx
+ ∞
xp = + ∞, p ≤ 1 , a > 0 .
a
Shunday qilib1 (6.6.4) birinchi turdagi xosmas integral p > 1 da yaqinlashar va
p ≤ 1 da esa uzoqlashar ekan.
→ ∞
Agar ahamiyat bersak1 xosmas (6.6.2) integralning yaqinlashishi A + da ushbu
F (A) =
A
-
f (x) dx
a
funksiyaning limiti mavjudligini anglatadi. Shuning uchun1 xosmas integralning yaqinlashish kriteriysi sifatida funksiyaning cheksizlikdagi limiti mavjudligi uchun Koshi kriteriysini olsak bo'ladi.
- Teorema (Koshi kriteriysi). Xosmas (6.6.2) integralning yaqinlashishi
uchun ixtiyoriy ε > 0 olganda ham shunday A = A( ε) son topilib, uning uchun
quyidagi implikatsiyaning bajarilishi zarur va yetarli:
1-
1
Att
(At > A) ∧ (Att > A) ⇒
1At
f (x) dx < ε. (6.6.7)
1
1
Navbatdagi teoremada xosmas integralning chiziqlilik xossasi o'rnatiladi.
∞
- Teorema. Agar f va g funksiyalardan a dan + gacha olingan xosmas integrallar yaqinlashsa, u holda ixtiyoriy λ va µ haqiqiy sonlar uchun λf + µg yig indidan olingan integral ham yaqinlashadi va quyidagi tenglik bajariladi:
-
+∞
[λf (x) + µg(x)] dx = λ
a
+∞
-
f (x) dx + µ
a
+∞
-
g(x) dx. (6.6.8)
a
1-
Att
Att
Att
1
[λf (x) + µg(x)] dx
1
≤ |λ| 1
f (x) dx1 + |µ| 1 g(x) dx
1
At 1 1 At 1 1 At 1
tengsizlik va (6.6.7) Koshi kriteriysidan bevosita kelib chiqadi. (6.6.8) tenglik esa aniq integral va limitning chiziqlilik xossasi natijasidir.
Agar teoremada xosmas integrallarning yaqinlashishi yoki uzoqlashishi uchun yetarlilik shartlar o'rnatilgan bo'lsa1 bunday teorema matematik adabiyotlarda yaqinlashish yoki uzoqlashish alomati deb nomlanadi. Navbatdagi yaqinlashish alomati o'rganilayotgan integralni yaqinlashishi ma'lum bo'lgan integral bilan taqqoslashga asoslangandir.
≥
- Teorema(taqqoslashning umumiy alomati). Faraz qilaylik, g(x) 0 funksiya berilib,
-
∞
g( x) dx (6.6.9)
a
integral yaqinlashsin. Agar f funksiya istalgan A > a uchun [ a, A] kesmada integrallanuvchi bo lib,
|f ( x) | ≤ g( x) (6.6.10)
tengsizlikni qanoatlantirsa, (6.6.2) xosmas integral ham yaqinlashadi.
Isbot bevosita 6.6.1 - Teoremadan kelib chiqadi.
Yuqorida o'rganilgan 6.6.1 - Misol yordamida biz taqqoslayotgan g(x) funksiymizni aniq tanlab olishimiz mumkin.
- Teorema (taqqoslashning hususiy alomati). Faraz qilaylik, a > 0
bo lib, f funksiya har qanday A > a uchun [ a, A] kesmada integrallanuvchi bo lsin.
Agar biror p > 1 uchun
C
|f ( x) | ≤ xp , x ≥ a > 0 , p > 1 , C > 0 (6.6.11)
tengsizlik bajarilsa, u holda (6.6.2) xosmas integral yaqinlashadi.
C
Agar biror p ≤ 1 uchun
f (x) ≥ xp , x ≥ a > 0, p ≤ 1, C > 0 (6.6.12)
tengsizlik bajarilsa, u holda (6.6.2) xosmas integral uzoqlashadi.
Isbot. Agar 6.6.1 - Misolning natijasidan foydalansak1 teoremaning birinchi qismi bevosita 6.6.3 - Teoremadan va ikkinchi qismi esa1 6.2.3 - Teoremadan kelib chiqadi.
Navbatdagi alomat asosan integral ostidagi funksiya ossilyatsiyalanganda1 ya'ni turli ishorali qiymatlar qabul qilib tebrangan holda qo'llaniladi.
- Teorema (Dirile-Abel alomati). Faraz qilaylik,
-x
f funksiya x ≥ a yarim to g ri chiziqda uzluksiz bo lib, uning
F (x) =
f (t) dt (6.6.13)
a
boshlang ich funksiyasi shu yarim to g ri chiziqda chegaralangan bo lsin;
≥
g funksiya x a yarim to g ri chiziqda uzluksiz differensiallanuvchi bo lib, quyidagi shartlarni qanoatlantirsin:
U holda
g(x) 0, gt(x) 0, lim
≥ ≤
x→∞
g(x) = 0. (6.6.14)
-
+∞
f (x) g(x) dx (6.6.15)
a
xosmas integral yaqinlashadi.
Isbot. Koshi kriteriysidan foydalanish maqsadida1 quyidagi integralni bo'laklab integrallaymiz:
-
-
Att Att
f (x) g(x) dx = F (Att)g(Att) − F (At)g(At) − F (x)gt(x)dx, (6.6.16)
A
t At
bu yerda F funksiya (6.6.13) tenglik orqali aniqlangan. Shartga ko'ra1 bu funksiya chegaralangan:
|F (x)| ≤ M, x ≥ a.
Shunday ekan1 (6.6.16) tenglikka asosan1
1-
-
1
Att Att
1At
f (x) g(x) dx ≤ M [g(Att) + g(At)] + M
1
1 At
|gt(x)| dx. (6.6.17)
Hosilasiga (6.6.14) da qo'yilgan shartga ko'ra1 |gt(x)| = −gt(x). Shuning uchun1 (6.6.17) ning o'ng tarafidagi integral g(At) − g(Att) ga teng. Demak1
1-
1
Att
1At
f (x) g(x) dx ≤ 2Mg(At). (6.6.18)
Do'stlaringiz bilan baham: | 
