Matematik tahlil

1

(6.5.4) da δ ning ixtiyoriy musbat sonligidan foydalanib1 unga ketma-ket δ_n =

n

qiymatlarni beramiz. (6.5.4) va (6.5.5) tengsizliklarga asosan1 har bir shunday δ_n
uchun [a, b] kesmdan shunday ikki x^t_n va x^t_n^t nuqtalar topiladiki1

1

|x^t − x^tt| <

(6.5.6)

bo'lib1
n n _n

tengsizlik bajariladi.

|f (x^t_n) − f (x^t_n^t )| ≥ ε₀ (6.5.7)

{ }
Bolsano-Veyershtrass (2.4.1 - Teorema) teoremasiga asosan1 x^t_n ketma-ketlikdan

∈ { }

{ }
yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin. Belgilashlarda chalkashmaslik maqsadida1 qismiy ketma-ketlikni qayta nomerlab1 x^t_n ketma-ketlikning o'zi biror c [a, b] songa intiladi deyishimiz mumkin. U holda1 (6.5.6) bahodan1 x^t_n^t ketma-
ketlikning ham xuddi shu c soniga yaqinlashishi kelib chiqadi. Shartga ko'ra1 f
funksiya [a, b] kesmaning har bir nuqtasida uzluksiz edi. Shuning uchun1
f (x^t_n) → f (c), f (x^t_n^t ) → f (c), n → ∞,
bu esa (6.5.7) tengsizlikka ziddir.

Q.E.D.

Funksiya tebranishi tushunchasidan foydalanib (oldingi bandga qarang)1 funksiyaning kesmadagi tekis uzluksizligi ta'rifini quyidagi ko'rinishda ham keltirish mumkin. Biz

| |
∆ simvol orqali ∆ kesmaning uzunligini belgilaganimizni eslatib o'tamiz.

⊂

⊂
6.5.1 - Tasdiq. Berilgan f funksiyaning [a, b] kesmada tekis uzluksiz bo lishi uchun istalgan ε > 0 olganda ham shunday δ > 0 son topilib, uzunligi δ dan kichik bo lgan har qanday ∆ [a, b] kesmada f funksiyaning tebranishi ε dan kichik bo lishi zarur va yetarlidir, ya ni istalgan ∆ [a, b] kesma uchun quyidagi implikatsiyaning bajarilishi zarur va yetarli:
|∆| < δ ⇒ ω(f, ∆) < ε. (6.5.8) Darhaqiqat1 agar ∆ = [x₁, x₂] desak1 E = [a, b] bo'lgan holda (6.5.3) va (6.5.8)
implikatsiyalarning teng kuchliligiga shubha yoq.

3. 
   - Teorema. Kesmada uzluksiz bo lgan har qanday funksiya shu kesmada integrallanuvchidir.
   

Isbot. Berilgan f funksiya [a, b] kesmada uzluksiz bo'lsin. U holda1 6.5.3 -
Teoremaga ko'ra1 u shu kesmada tekis uzluksiz ham bo'ladi. Shunday ekan1 ixtiyoriy ε > 0 olganda ham shunday δ > 0 topiladiki1 u uchun (6.5.8) implikatsiya o'rinli bo'ladi.

{ }
Endi P = a = x₀ < x₁ < ... < x_n−1 < x_n = b orqali [a, b] kesmaning
shunday bo'linishini belgilaylikki1 uning diametri δ dan kichik bo'lsin1 ya'ni ixtiyoriy
k = 1, 2, ..., n uchun x_k − x_k−1 < δ bo'lsin. U holda1 (6.5.8) shartga ko'ra1
ω(f, ∆_k) < ε
tengsizlik bajariladi.

Demak1



n
ω(f, ∆_k)∆x_k <
k=1


n

ε · ∆x_k = ε(b − a). (6.5.9)
k=1

Mazkur bahodan1 P bo'linishni tanlash hisobiga1 (6.5.9) ning chap tarafidagi ifodani istalgancha kichik qilish mumkinligi kelib chiqadi. Bu esa f funksiyaning [a, b] kesmada integrallanuvchi ekanini anglatadi (6.4.2* - Teoremaga qarang).

Q.E.D.

Agar f funksiya berilgan kesmaning1 oshib borsa biror chekli songagi nuqtalaridan tashqari1 barcha nuqtalarida uzluksiz bo'lib1 o'sha chekli sondagi nuqtalarda birinchi turdagi uzilishga ega bo'lsa1 bunday funksiyani qaralayotgan kesmada bo lakli uzluksiz deymiz.

Natija. Kesmada bo lakli uzluksiz bo lgan har qanday funktsiya shu kesmada
integrallanuvchi bo ladi.
Haqiqatan1 ravshanki1 har qanday bo'lakli uzluksiz funksiyani1 biri uzluksiz va ikkinchisi pog'onasimon bo'lgan1 ikki funksiya yig'indisi sifatida yozish mumkin. Bizga ma'lumki1 bunday ikki funksiyaning har biri integrallanuvchi bo'ladi. Demak1 ularning yig'indisi ham integrallanuvchidir.

3. 
   
   ∈
   Yuqori chegarasi o'zgaruvchi bo'lgan integral. Agar f funksiya [a, b] kesmada integrallanuvchi bo'lsa1 6.4.3 - Teoremaga ko'ra1 u istalgan kichikroq kesmada ham integrallanuvchi bo'ladi va demak1 ixtiyoriy x [a, b] uchun quyidagi funksiyani aniqlash mumkin:
   

F (x) =
x

-
f (t) dt. (6.5.10)
a

Mazkur (6.5.10) funksiya yuqori chegarasi o zgaruvchi bo lgan integral deyiladi. Agar f funksiya [a, b] kesmada integrallanuvchi bo'lsa1 (6.5.10) integral shu kesmada uzluksiz funksiya bo'lishini ko'rsatish qiyin emas. Biz bundanda kuchliroq
natijani1 ya'ni qayd qilingan integral [a, b] kesmada Lipshits shartini qanoatlantiruvchi funksiya ekanini isbotlaymiz.

4. 
   - Teorema. Agar f funksiya [a, b] kesmada integrallanuvchi bo lsa, yuqori
   

chegarasi o zgaruvchi bo lgan (6.5.10) integral shu kesmada Lipshits shartini qanoatlantiruvchi funksiya bo ladi.
Isbot. Agar f funksiya [a, b] kesmada integrallanuvchi bo'lsa1 6.1.1 - Teoremaga
ko'ra1 u shu kesmada chegaralangan bo'ladi1 ya'ni