Matematik tahlil

s(f, P ) =
m_k∆x_k. (6.3.5)
k=1

Xuddi shu singari1 berilgan P bo'linish uchun Darbunin yuqori pog onasimon funksiyasi H(x) = H(x, P ) ni shunday aniqlaymizki1 u har bir ∆_k = [x_k−1, x_k) qismiy yarim intervalda o'zgarmas bo'lib1 quyidagi tenglik bilan aniqlangan:
M_k = sup { f (t) : t ∈ [x_k−1, x_k] } (6.3.6) qiymatlarni qabul qilsin.
Shunday qilib1
H(x, P ) = M_k 1 x ∈ ∆_k, k = 1, 2, ..., n. (6.3.7)

Yuqori pog'onasimon funksiya integrali

-
b
H(x, P ) dx =
a



n



k =1
M_k∆x_k (6.3.8)

ga teng.
(6.3.8) tenglikning o'ng tarafidagi yig'indi P bo'linishga mos kelgan Darbuning yuqori yig indisi deyiladi va odatda quyidagicha belgilanadi:

n

S(f, P ) =
M_k∆x_k. (6.3.9)
k=1

Darbuning har qanday bo'linishga mos kelgan yuqori pog'onasimon funksiyasi quyidagi tengsizlikni qanoatlantirishi ravshan:
H(x, P ) ≥ f (x), a ≤ x ≤ b. (6.3.10) Shuni aytish kerakki1 shartimizga ko'ra o'rganilayotgan funksiya chegaralangan bo'lgani uchun1 (6.3.2) va (6.3.6) kattaliklar va buning natijasida1 Darbuning quyi
(6.3.5) va yuqori (6.3.9) yig'indilari chegaralangan aniq sonlardir.

2. 
   Darbuning yuqori va quyi integrallari. Darbuning quyi va yuqori yig'indilari xossalarini navbattagi bir qator sodda jumlalarda keltiramiz. Bu jumlalarda f funksiyani [a, b] kesmada aniqlangan va chegaralangan ixtiyoriy funksiya deb qaraymiz.
   

1. 
   - Jumla. Berilgan [a, b] kesmaning istalgan ikki P₁ va P₂ bo linishlari uchun h(x, P₁) quyi pog onasimon funksiya H(x, P₂) yuqori pog onasimon funksiyadan katta emas, ya ni
   

h(x, P₁) ≤ H(x, P₂), a ≤ x ≤ b. (6.3.11)
Isbot (6.3.1) va (6.3.10) tengsizliklardan kelib chiqadi.

2. 
   - Jumla. Darbuning istalgan quyi pog onasimon funksiyasidan olingan integral Darbuning har qanday yuqori pog onasimon funksiyasidan olingan integraldan katta emas, ya ni
   

-
b
h(x, P₁) dx ≤
a
b

-
H(x, P₂) dx.
a

Isbot 1 - Jumla va 6.2.3 - Teoremalardan kelib chiqadi.

3. 
   - Jumla. Darbuning istalgan quyi yig indisi Darbuning har qanday yuqori yig indisidan katta emas, ya ni