Matematik tahlil

§ 6.3. Darbuning yuqori va quyi integrallari

1. 
   Darbuning yuqori va quyi yig'indilari. Yuqorida ko'rganimizdek1 Riman integralining ta'rifi uning xossalarini nisbatan oson isbotlashga imkon beradi. Ammo bu ta'rif yordamida berilgan funksiyaning biror kesmada integralanuvchiligini aniqlash ancha murakkabdir.
   

Integralning yana boshqacha aniqlash usulini fransuz matematigi J.G.Darbu taklif qilgan. Darbu ta'rifning ustunligi shundan iboratki1 u bo'yicha integrallanish kriteriysi nisbatan yaqqolroq ifodalanib1 osonroq tekshiriladi. Bu usulning asl mohiyati integrallanishga tekshirilayotgan f funksiyani ikkita pog'onasimon funksiyalar bilan ikki tarafdan yaqinlashtirishdadir; ulardan biri f dan kichik bo'lib yaqinlashsa1 ikkinchisi esa f dan katta bo'lib unga yaqinlashadi.

{ }
Faraz qilaylik1 f funksiya biror [a, b] kesmada aniqlangan bo'lib1 shu kesmada chegaralangan bo'lsin. Bundan tashqari1 P = a = x₀ < x₁ < x₂ < ... < x_n = b berilgan kesmaning ixtiyoriy bo'linishi bo'lsin.
Endi h(x) pog'onasimon funktsiyani shunday aniqlaymizki1 u har bir [x_k−1, x_k)
qismiy yarim intervalda biror µ_k qiymatni qabul qilsin (agar k = n bo'lsa1 biz h(x) funksiya oxirgi qismiy [x_n−1, x_n] = [x_n−1, b] kesmada (ya'ni yarim intervalda emas) o'zgarmasga teng deb olamiz). Bunday aniqlangan h(x) funksiya1 6.2.3 - Misolda
ko'rganimizdek1 Riman bo'yicha integrallanuvchi bo'ladi va undan olingan integral (6.2.17) formula bo'yicha hisoblanadi.
Faraz qilamiz1 h(x) pog'onasimon funksiya shunday aniqlangan bo'lsinki1 u uchun
h(x) ≤ f (x), a ≤ x ≤ b (6.3.1) tengsizlik bajarilsin. Bu bahoni ta'minlash uchun h(x) funksiyaning µ_k = m_k qiymatlarini quyidagicha aniqlash kifoya:
m_k = inf { f (t) : t ∈ [x_k−1, x_k] }. (6.3.2)
Hosil bo'lgan funksiyani h(x, P ) simvoli bilan belgilaymiz. Demak1 agar ∆_k = [x_k−1, x_k) desak (k = n bo'lganda1 odatdagigek1 ∆_n = [x_n−1, x_n] deb hisoblaymiz)1 biz quyidagi ta'rifga ega bo'lamiz:
agar x ∈ ∆_k bo'lsa, h(x, P ) = m_k, k = 1, 2, ..., n. (6.3.3)
Pog'onasimon h(x, P ) funksiyani P bo'linishga mos keluvchi Darbuning quyi pog onasimon funksiyasi deb ataymiz
Shunday qilib1 Darbuning quyi pog'onasimon funktsiyasi (6.3.1) tengsizlikni qanoatlantirib1 undan olingan integral1 (6.2.17) ga ko'ra1

ga teng.
b

-
h(x, P ) dx =
a


k =1


m_k∆x_k (6.3.4)

(6.3.4) tenglikning o'ng tarafidagi yig'indi P bo'linishga mos keluvchi Darbuning quyi yig indisi deyiladi va odatda quyidagicha belgilanadi:

n