Matematik tahlil

s(f, P₁) ≤ S(f, P₂). (6.3.12)
Isbot Darbuning quyi va yuqori yig'indilari ta'rifi hamda 2 - Jumladan kelib chiqadi.

4. 
   - Jumla. Darbuning barcha quyi yig indilari to plami yuqoridan chegaralangan bo lib, Darbuning barcha yuqori yig indilari to plami quyidan chegaralangan bo ladi.
   

Isbot 3 - Jumladan kelib chiqadi.

Ta'rif. Berilgan f funksiyadan [a, b] kesma bo yicha olingan Darbuning quyi integrali I(f ) deb [a, b] kesmaning barcha bo linishlari bo yicha olingan Darbu quyi yig indilarining aniq yuqori chegarasiga aytamiz, ya ni

I(f ) = sup s(f, P ). (6.3.13)
P


Ta'rif. Berilgan f funksiyadan [a, b] kesma bo yicha olingan Darbuning yuqori integrali I(f ) deb [a, b] kesmaning barcha bo linishlari bo yicha olingan Darbu yuqori yig indilarining aniq quyi chegarasiga aytamiz, ya ni


I(f ) = inf S(f, P ). (6.3.14)
P

Ravshanki1 Darbuning bunday aniqlangan quyi va yuqori integrallarining mavjudligini

4 - Jumla ta'minlaydi.

5. 
   - Jumla. Darbuning quyi integrali Darbuning yuqori integralidan katta emas, ya ni
   

I(f ) ≤ I(f ). (6.3.15)
Isbot 3 - Jumladan kelib chiqadi.


Ta'rif. Agar f funksiya uchun Darbuning quyi integrali Darbuning yuqori integraliga teng bo lsa:
I(f ) = I(f ), (6.3.16)
u holda bu funksiya [a, b] kesmada Darbu ma nosida integrallanadi deymiz, bunda Darbuning quyi va yuqori integrallarining umumiy qiymati I_D = I = I ni f funksiyaning Darbu ma nosida [a, b] kesma bo yicha integrali deymiz.

Endi P bo'linishga yangi nuqtalarni qo'shganda Darbuning quyi va yuqori yig'indilari qanday o'zgarishini kuzatamiz.

6. 
   - Jumla. Agar P berilgan [a, b] kesmaning ixtiyoriy bo linishi bo lib, P^∗ esa P ga bir nechta nuqtalarni qo shishdan hosil bo lgan yangi bo linish bo lsa, Darbuning quyi va yuqori yig indilari quyidagi tengsizliklarni qanoatlantiradi:
   

s(f, P ) ≤ s(f, P^∗), S(f, P^∗) ≤ S(f, P ). (6.3.17)
Shunday qilib1 bo'linishga yangi nuqtalarni qo'shganda Darbuning quyi yig'indilari o'sib1 Darbuning yuqori yig'indilari esa kamayar ekan.
Isbot. Shubhasiz1 bu jumlani P bo'linishga faqat bitta nuqta qo'shilgan holda
isbotlash yetarlidir.
(6.3.17) dagi tengsiliklardan o'ngdagisini isbotlaymiz. Aytaylik1 boshlang'ich bo'linish P = {a = x₀ < x₁ < ... < x_n = b} ko'rinishga ega bo'lib1 yangi P^∗ bo'linish (x_m−1, x_m) intervalda yotgan bitta x^∗ nuqtani1 ya'ni

x_m−1 < x^∗ < x_m,

qo'shishdan hosil bo'lsin.
Bunda ∆_m = [x_m−1, x_m) qismiy yarim interval ikkiga bo'linadi:
∆_m = ∆^t_m ∪ ∆^t_m^t ,
bu yerda ∆^t_m = [x_m−1, x^∗) va ∆^t_m^t = [x^∗, x_m).

Ravshanki1 bu qo'shilish natijasida (6.3.9) yig'indining faqat m - nomerli bitta hadi o'zgaradi. Demak1