Matematik tahlil

lim

t→+∞
g(t) = +∞;

3. 
   g^t(t) ≥ 0, α ≤ t < +∞.
   

Agar f (x) funksiya x ≥ a yarim to g ri chiziqda uzluksiz bo lsa,

-

-
+∞
f (x) dx =
a
+∞
f [g(t)]g^t(t) dt, (6.6.23)
α

tenglik o rinli bo ladi. Bundan tashqari, bu xosmas integrallarning birini yaqinlashishidan ikkinchisining ham yaqinlashishi kelib chiqadi.
Isbot. A > a va B > α sonlar A = g(B) tenglik bilan bog'langan bo'lsin. U
holda1 6.5.1 - Tasdiqqa ko'ra1

-
A
f (x) dx =
a
B

-
f [g(t)]g^t(t) dt. (6.6.24)
α

→ ∞ → ∞
Yuqoridagi 3) shartga asosan1 A + intilish B + intilishga ekvivalentdir1 shuning uchun (6.6.24) tenglikdan isbotlanayotgan tasdiq kelib chiqadi.

Q.E.D.

2. 
   
   ≥
   - Tasdiq (bo'laklab integrallash). Berilgan u va v funksiyalar x
   

a yarim to g ri chiziqda uzluksiz differensiallanuvchi bo lib, quyidagi limit mavjud bo lsin:

U holda,
_-+∞
lim
x→+∞
u(x)v(x) = B.


_-+∞

u(x)v^t(x) dx = B − u(a)v(a) −
a a
v(x) u^t(x) dx, (6.6.25)

tenglik o rinli bo ladi. Bundan tashqari, ikki xosmas integralning birini yaqinlashishidan ikkinchisining ham yaqinlashishi kelib chiqadi.

Isbot. 6.5.2 - Tasdiqqa ko'ra1 istalgan A > a uchun1

-
A
u(x)v^t(x) dx = u(A)v(A) − u(a)v(a) −
a


A

-
v(x)u^t(x) dx
a

tenglik bajariladi.
Bu tenglikda A → +∞ deb limitga o'tsak1 talab qilingan tasdiqni olamiz. Q.E.D.

5. 
   
   −∞
   Xuddi yuqoridagidek1 ( , a) yarim to'g'ri chiziq bo'yicha olingan birinchi tur xosmas integral ham aniqlanadi:
   

-
a
f (x) dx = lim
A→−∞
−∞
a

-
f (x) dx. (6.6.26)
A

Xosmas (6.6.26) integral ham xuddi (6.6.2) integral ega bo'lgan xossalarga ega. Endi butun sonlar o'qi bo'yicha olingan birinchi tur xosmas integralni o'rganamiz:

-
+∞
f (x) dx. (6.6.27)

Agar ikki karrali limit
−∞

lim

A→−∞, B→+∞


B

-
f (x) dx (6.6.28)
A

mavjud bo'lsa1 (6.6.27) xosmas integral yaqinlashuvchi deyiladi va bu limit (6.6.27) xosmas integral qiymati sifatida qabul qilinadi.
Istalgan haqiqiy a son uchun

-

-
+∞ a
f (x) dx =
−∞ −∞


f (x) dx +
+∞

-
f (x) dx (6.6.29)
a

tenglik bajarilishini ko'rsatish qiyin emas. Bunda (6.6.29) tenglikning chap tarafidagi xosmas integral faqat va faqat bu tenglikning o'ng tarafidagi har ikkala xosmas integrallar yaqinlashgandagina yaqinlashadi.

2. Xosmas integrallarning absolyut va shartli yaqinlashishi.

≥
Ta'rif. Faraz qilaylik, f (x) funksiya x a da aniqlangan bo lib, har bir [a, A]
kesmada integrallanuvchi bo lsin. Agar

-
+∞
|f (x)| dx (6.6.30)
a

xosmas integral yaqinlashsa,



-
+∞
f (x) dx (6.6.31)

a
xosmas integral absolyut yaqinlashadi deyiladi.
Bevosita 6.6.3 - Teoremadan har qanday absolyut yaqinlashuvchi xosmas integralning yaqinlashishi kelib chiqadi.

5. 
   - Misol. Quyidagi integralni absolyut yaqinlashishga tekshiring:
   

-
^+∞sin x
_x2 dx.
1
Bu integral absolyut yaqinlashadi1 chunki 6.6.3 - Teoremaga asosan1 quyidagi integral yaqinlashadi:

^- | |
^+∞ sin x
_x2 dx.
1
Ta'rif. Agar (6.6.31) integral yaqinlashib, (6.6.30) integral uzoqlashsa, hosmas (6.6.31) integral shartli yaqinlashadi deyiladi.

6. 
   - Misol. Quyidagi
   

-
^+∞sin x

x

1


dx (6.6.32)

integral shartli yaqinlashadi. Haqiqatan1 Dirixle-Abel alomatiga ko'ra1 bu integral yaqinlashadi1 ammo1 o'z-o'zidan ko'rinib turgan

| sin x|

x

sin² x

≥
, x > 0

x

tengsizlikdan foydalanib1 (6.6.20) integralning uzoqlashishini hisobga olsak1 ushbu

^-+∞| sin x|
dx

x
1
integralning uzoqlashishini ko'ramiz. Ravshanki1 bundan (6.6.32) integralning shartli yaqinlashishi kelib chiqadi.

2. 
   
   −
   Xosmas integralning bosh qiymati. Ko'pgina muhim tadbiqlarda1 (6.6.28) ko'rinishdagi ikki karrali limitga o'tayotgan vaqtda1 qo'shimcha ravishda A = B shart talab qilinadi1 ya'ni integrallash chegaralari koordinatalar boshiga nisbatan simmetrik joylashgan deb hisoblanadi. Bunda hosil bo'lgan xosmas integral maxsus nomga ega.
   

Ta'rif. Berilgan f funksiya R butun sonlar o qida aniqlangan bo lib, bu o qning har bir kesmasida integrallanuvchi bo lsin. Agar

_-A
lim

A→+∞
−A
f (x) dx (6.6.33)

limit mavjud bo lsa, u holda f funksiya R da Koshi bo yicha integrallanuvchi deymiz.

Bu limit f funksiyadan olingan xosmas integralning bosh qiymati yoki Koshi ma nosidagi integral deyiladi va quyidagi ko'rinishda belgilanadi:

V.p.
+∞

-
f (x) dx = lim
A→+∞
A

-
f (x) dx. (6.6.34)

^−∞ −A
Bunda ikki V.p. xarflar fransuzcha ni anglatuvchi so'zlarining bosh xarflaridir.

-

-

-
6.6.1 - Misol. Agar f toq funksiay bo'lsa1 ya'ni f (−x) = −f (x)1 u holda1

shuning uchun1
0
f (x) dx =
−A


_-A
A
f (−x) dx = −
0
_-A
A
f (x) dx,
0
_-A

lim

A→+∞
−A
f (x) dx = −
0
f (x) dx +
0
f (x) dx = 0.

_-+∞
Demak1 toq funksiya uchun quyidagi tenglik bajarilar ekan:

V.p.
−∞
f (x) dx = 0.

2. Ikkinchi turdagi xosmas integrallar.

1. 
   Ma'lumki1 6.1.1 - Teoremaga ko'ra1 kesmada integrallanuvchi har qanday funksiya shu kesmada chegaralangan bo'lishi shart1 aks holda integral yig'indilarining limiti mavjud bo'lmaydi1 xuddi shunday1 Darbuning quyi va yuqori yig'indilari ham ma'noga ega bo'lmaydi. Ammo1 ba'zi muhim hollarda1 chegaralanmagan funksiyadan ham olingan integralga aniq bir ma'no berish mumkin.
   

Masalan1

funksiyani qaraylik.
f (x) =
1
^√_x, 0 < x ≤ 1 (6.6.35)

Biz bu funksiyaning [0, 1] kesmada integrallanishi haqida gapira olmaymiz1 chunki bu kesma nuqtalaridan birida1 ya'ni 0 nuqtada1 qaralayotgan funksiya aniqlanmagan.
Faraz qilaylik1 nol nuqtada biz bu funksiyani f (0) = A deb aniqladik ham deylik. Endi f funksiya [0, 1] kesmaning barcha nuqtalarida aniqlangan bo'ldi. Ammo1 biz A sonni qanday tanlashimizdan qat'iy nazar1 ravshanki1 f funksiya [0, 1] kesmada chegaralangan bo'la olmaydi1 natijada1 bu kesmada Riman bo'yicha integrallanuvchi ham bo'lmaydi.
Endi boshqacha yol tutaylik. Agar 0 < ε < 1 bo'lsa1 (6.6.35) funksiya ixtiyoriy [ε, 1] kesmada uzluksizdir va demak1 integrallanuvchi ham bo'ladi. Bu funksiyani [ε, 1] kesmada N'yuton-Leybnits formulasidan foydalanib integrallaymiz:

-
¹ dx

√_x

= 2^√



x |
x=1 x=ε
= 2 − 2^√ε.

ε

→
Shubhasiz1 ε 0 da integral 2 soniga yaqinlashadi va shuning uchun1 (6.6.35) funksiaydan [0, 1] kesma bo'yicha olingan integralning qiymatini 2 ga teng deb hisoblashimiz tabi'iydir.
O'rganilgan misol umumiy holga o'tish uchun asos bo'la oladi.

−
Ta'rif. Berilgan f funksiya (a, b] yarim intervalda aniqlangan bo lib, 0 < ε < b a intervaldan olingan har qanday ε uchun [a + ε, b] kesmada integrallanuvchi bo lsin.
Agar

lim

ε→0+0
b

-
a+ε


f (x) dx = I

limit mavjud bo lsa, bu limit f funksiyadan olingan ikkinchi tur xosmas integral deyiladi. Bunda f funktsiya [a, b] kesmada xosmas ma noda integrallanuvchi deb ataladi.
Bunday xosmas integral uchun odatdagi belgilashdan foydalaniladi:

-
b
f (x) dx = lim
ε→0+0
a


b

-
a+ε


f (x) dx. (6.6.36)

Qayd etish joizki1 (6.6.36) tenglik chap tarafda turgan integralning ta'rifi deb qabul qilinib1 u isbotlanmaydi.
Xuddi birinchi tur xosmas integrallar kabi1 ikkinchi tur xosmas integrallar uchun ham yaqinlashish alomatlari o'rnatiladi1 xususan1 umumiy va xususiy taqqoslash alomatlari isbotlanadi.

2. 
   Agar f funksiya b nuqtada maxsuslikka ega bo'lsa (ya'ni f funksiya har
   

−
qanday ε > 0 uchun [a, b ε] ko'rinishdagi kesmada Riman bo'yicha integrallanuvchi bo'lsa)1 u holda ikkinchi tur xosmas integral qiymati quyidagi limit ko'rinishida aniqlanadi: