Matematik tahlil

-
1 b

^{µ =} I(g)


f (x) g(x) dx (6.5.25)

a
deb belgilaymiz. Buday aniqlangan µ soni uchun (6.5.23) tenglik o'z-o'zidan ko'rinib turibdi. Bundan tashqari1 (6.5.22) shart bevosita (6.5.24) dan kelib chiqadi.
Bordiyu I(ρ) = 0 bo'lsa1 (6.5.24) tengsizlikka ko'ra1 (6.5.23) tenglikning har ikki tarafidagi integrallar nolga teng bo'lib1 (6.5.23) tenglik1 albatta1 istalgan µ uchun bajariladi.

Q.E.D.

1 - Eslatma. Agar I(ρ) > 0 bo'lsa1 (6.5.18) tenglik bilan aniqlangan o'rta qiymat uchun quyidagi ikki taraflama baho o'rinli bo'ladi:

m(f ) ≤ E_ρ(f ) ≤ M (f ). (6.5.26)
Haqiqatan1 (6.5.18) va (6.5.25) tengliklarga ko'ra µ = E_ρ(f ). Demak1 (6.5.22) va (6.5.26) baholar ustma-ust tushar ekan.
Shunday qilib1 har qanday funksiyaning (6.5.18) ko'rinishdagi o'rta qiymati bu funksiyaning aniq yuqori va aniq quyi chegaralari orasida yotadi.
1 - Natija (birinchi o'rta qiymat formulasi). Agar 6.5.3 - Teoremada f
funksiya [a, b] kesmada uzluksiz bo lsa, u holda berilgan kesmada shunday ξ nuqta topiladiki, u uchun quyidagi formula o rinli bo ladi:

-

-
b b
f (x) ρ(x) dx = f (ξ)
a a


ρ(x) dx. (6.5.27)

Ushbu formulani isbotlash uchun1 avval kesmada uzluksiz har qanday funksiya shu kesmada o'zining maksimum va minimumlari orasida yotgan barcha qiymatlarni

qabul qilishini ko'rsatamiz. Haqiqatan1 Veyershtassning ikkinchi teoremasiga binoan (3.5.5 - Teorema)1 [a, b] kesmada shunday α va β nuqtalar topiladiki1 ular uchun

m(f ) = min
a≤x≤b
f (x) = f (α), M (f ) = max
a≤x≤b
f (x) = f (β)

∈
bo'ladi. Shunday ekan1 3.5.3 - Teoremaga ko'ra1 (6.5.22) shartni qanoatlantiruvchi har qanday µ son uchun shunday ξ [α, β] nuqta topiladiki1 u uchun f (ξ) = µ tenglik bajariladi. Demak1 (6.5.27) tenglik (6.5.23) dan kelib chiqadi.

1 ^-b
Agar (6.5.27) formulada ρ(x) ≡ 1 desak1 sodda almashtirishlardan keyin1

−
b a

a
f (x) dx = f (ξ) (6.5.28)

tenglik hosil bo'ladi. Demak1 [a, b] kesmada uzluksiz bo'lgan funksiya o'zining o'rta qiymatini shu kesmaning biror nuqtasida qabul qiladi. Odatda ana shu (6.5.28) formulani birinchi o rta qiymat formulasi deb atashadi.

2 - Natija (ikkinchi o'rta qiymat formulasi). Berilgan [a, b] kesmada uzluksiz

≥
f funksiya va differensiallanuvchi g funksiya berilgan bo lsin. Bundan tashqari, g funksiyaning hosilasi shu kesmada integrallanuvchi bo lib, g^t(x) 0 bo lsin. U holda [a, b] da shunday ξ nuqta topiladiki, u uchun

-

-
b ^ξ
f (x) g(x) dx = g(a)
a a


b

-
f (x) dx + g(b)
ξ


f (x) dx (6.5.29)

formula o rinli bo ladi.
Natijani isbotlash uchun


F (x) =

deb belgilaylik.

x

-
f (t) dt, a ≤ x ≤ b

a

U holda (6.5.12) tenglikka ko'ra1 F^t(x) = f (x). Shunday ekan1 bo'laklab integrallasak1
quyidagiga ega bo'lamiz:

-
b
f (x) g(x) dx =
a
b

-
F^t(x) g(x) dx =
a
_-b

= F (b)g(b) − F (a)g(a) −
a
F (x) g ^t(x) dx. (6.5.30)

≥
Shartga ko'ra g^t(x) 0 ekan1 biz oxirgi integralga birinchi o'ta qiymat formulasini qo'llashimiz mumkin. Demak1

-

-
b b
F (x) g ^t(x) dx = F (ξ)
a a
g ^t(x) dx = F (ξ)[g(b) − g(a)],

bu yerda ξ nuqta [a, b] kesmaning biror nuqtasidir.

Bu munosabatni (6.5.30) tenglikka qo'ysak va F (a) = 0 ekanini hisobga olsak1

_-b
f (x) g(x) dx = g(a)F (ξ) + g(b)[F (b) − F (ξ)]
a
formulani olamiz. Ravshanki1 bu tenglik talab qilingan (6.5.29) formulaning o'zidir.

Ikkinchi o'rta qiymat formulasini Bonne formulasi ham deyishadi.

2 - Eslatma. Bonne formulasi nisbatan umumiyroq holda ham o'rinli ekanini qayd etamiz. Chunonchi1 [a, b] kesmada f funksiya integrallanuvchi bo'lib1 g funksiya esa faqat monoton bo'lgan holda ham bu formula o'rinlidir. Ammo bunda (6.5.29) formulaning isboti ancha murakkablashadi.