Matematika fanidan Mavzu: “Extimolik xossalari shartli ehtimollik xodisalarning bog'liqsizligi” mavzusidagi

5-misol. Byuffon masalasi. Tekislikda bir-biridan masofada turuvchi parallel to`g`ri chiziqlar o`tkazilgan. Tekislikka uzunligi bo`lgan igna tavakkaliga tashlangan. Ignaning birorta to`g`ri chiziqni kesish ehtimolini toping.
Yechish. orqali ignaning o`rtasidan unga yaqinroq bo`lgan parallel to`g`ri chiziqgacha bo`lgan masofani va orqali igna bilan bu parallel to`g`ri chiziq orasidagi burchakni belgilaymiz (*).
va kattaliklar ignaning holatini to`la aniqlaydi. Ignaning barcha holatlari tomonlari va bo`lgan to`g`ri to`rtburchak nuqtalari bilan aniqlanadi. Ignaning parallel to`g`ri chiziq bilan kesishishi uchun tengsizlikning bajarilishi zarur va yetarlidir (**). Qilingan farazlarga ko`ra izlanayotgan ehtimol shtrixlangan yuzning to`g`ri to`rtburchak yuziga nisbatiga teng bo`ladi:
.

(*) (**)
Byuffon maslasi otishlar nazariyasiga oid ko`pgina masalalarni hal etishda muhimdir. Bundan tashqari, Byuffon masalasidan sonining qiymatini tajriba yo`li bilan hisoblashda foydalanish mumkin. Haqiqatan ham, yechilgan masaladan formula hosil bo`ladi. Tajribalar soni yetarlicha katta bo`lganda

formula o`rinli bo`lib, bunda -tajribalar soni, esa ignaning parallel chiziqlardan birini kesib tushgan hollari soni.
Ignani tashlash yordamida ni aniqlash uchun juda ko`p tajribalar o`tkazilgan. Ulardan ba`zi birlarining natijalarini keltiramiz.

Tajriba o`tkazgan kishi	Yili	Igna tashlashlar soni	ning eksperimental qiymati
Volf	1850	5000	3,1596
Foks	1894	1120	3,1419
Lassarini	1901	3408	3.1415929

Shartlar kompleksi o`zgarmas bo`lganda biror hodisaning ro`y berishi yoki ro`y bermasligi ustida uzoq kuzatishlar o`tkazilganda, uning ro`y berishi yoki ro`y bermasligi ma`lum turg`unlik (barqarorlik) xarakteriga ega bo`ladi.
hodisaning n ta tajribada ro`y berishlar sonini deb olsak, u holda juda ko`p sondagi kuzatishlar seriyasi uchun - nisbat deyarli o`zgarmas miqdor bo`lib qolaveradi.
- nisbat hodisaning ro`y berish chastotasi deyiladi. Chastotaning turg`unlik xususiyati birinchi bor, demografik xarakterdagi hodisalarda ochilgan. Bizning eramizdan 2238 yil bu­run qadimiy Xitoyda o`gil bola tugilishlar sonining jami tugilgan bolalar soniga nisbati deyarli ga teng deb hisoblangan.
Laplas Londonda, Peterburgda va butun Fransiyada yig`ilgan juda ko`p statistik materiallarga tayanib, tug`ilgan o`g`il bolalar sonining jami tug`ilgan bolalar soniga nisbati taxminan ga tengligini ko`rsatdi. Bu sonning bir necha o`n yillar mobaynida o`zgarmay qolishini statistik ma`lumotlar tasdiqladi.
Tajribalar soni oshirib borilsa, ma`lum bir qonuniyatni payqash mumkin.
Tangani n marta tashladik deb faraz qilaylik va „gerb" tushishlar sonini deb belgilaylik. Agar absissa o`qida o`tkazilgan tajribalar sonini, ordinata o`qida esa nisbatni belgilab borsak. n ning ortib borishi bilan (n, ) nuqtalarni tutashtiruvchi siniq chiziq chiziqqa yaqinlashadi.

Bu holni tekshirish maqsadida Byuffon tangani 4040 marta tashladi, shulardan 2048 marta gerb tushdi, gerb tushishi chastotasi . Pirson tangani oldin 12000 marta tashlagan, 6019 marta gerb tushdanda, gerb tushishlar ehtimoli , so`ngra 24000 marta tashlaganda, shulardan 12012 tasida gerb tushdi, .
Bu hol umumiy xarakterga ega: bir xil sharoitda o`tkazilgan tajribalar ketma-ketligida u yoki bu hodisani ro`y berishi chastotasi biror soniga „yaqinlashib” boradi.
Agar, tajribalar soni yetarlicha ko`p bo`lsa, u holda shu tajribalarda qaralayotgan hodisaning ro`y berish chastotasi biror o`zgarmas son atrofida turg`un ravishda tebransa, shu p sonni hodisaning ro`y berish ehtimoli deb qabul qilamiz. Bunday usulda aniqlangan ehtimol hodisa­ning statistik ehtimoli deyiladi.
Mizes hodisa­ning ehtimolini ushbu munosabat yordamida kiritgan:
.
Ehtimolning bu ta`rifi juda noqulay, chunki biror hodisaning ro`y berishi chastotalari ketma-ketligi turli eksperimentlar o`tkazilganda turlicha bo`ladi. Bundan tashqari, amalda biz chastotalar ketma-ketligini emas, balki uning chekli elementlarini olgan bo`lamiz. Hamma ketma-ketlikni olib bo`lmaydi. Shu sababli, ehtimollar nazariyasini aksiomalar asosida qurish maqsadga muvofiqdir.