Matematika fanidan Mavzu: “Extimolik xossalari shartli ehtimollik xodisalarning bog'liqsizligi” mavzusidagi

Shartli ehtimol. Hodisalarning bog`liqsizligi

Agar hodisa ehtimolligini topishda kompleks shartlardan boshqa shartlar talab qilinmasa, bunday ehtimollikni shartsiz ehtimollik deyiladi

Ko`pgina hollarda qandaydir tasodifiy hodisa ehtimolligini musbat ehtimolga ega bo`lgan boshqa bir tasodifiy hodisasi ro`y berganlik shartida topishga to`g`ri keladi. Bunday ehtimollikka shartli ehtimollik deyiladi va kabi belgilanib, ning shartidagi ehtimolligi deb o`qiladi.
Misol: O`yin soqqasi ikki marta tashlangan bo`lsin.
-tushgan ochkolar yig`indisi to`rtdan kichik bo`lish hodisasi, esa birinchi tashlaganda bir tutish hodisasi bo`lsin. hodisasi ro`y berganlik shartida hodisasining ro`y berish ehtimolligi topilsin.
Bu holga mos elementar hodisalar fazosi 36 ta elementdan iborat bo`ladi.

va hodisalar ning qism to`plamlari:
;
<sub>.</sub>
Shuning uchun ham ehtimollikning klassik ta`rifiga asosan
; ; .
B hodisasi ro`y berganda A hodisasi ro`y berishiga (1,1),(1,2) elementar hodisalar imkon tug`diradi , shuning uchun ham
.
Faraz qilaylik, elementar hodisalar fazosi ta bir xil imkoniyatli elementar hodisalardan tashkil topgan bo`lsin. Ulardan m tasi hodisasiga, tasi hodisasiga, tasi hodisasiga imkon tug`dirsin, ( ).
Shuning uchun ham, , va .
Ta`rif: -ehtimollik fazosi bo`lsin,
hodisasining hodisasi ro`y berganlik shartidagi shartli ehtimoli deb
(1)
ga aytiladi.
Ta`rifdan quyidagilar kelib chiqadi:
1) ; 2) ; 3)
4) Agar lar juft-jufti bilan birgalikda bo`lmagan tasodifiy hodisalar ketma-ketligi bo`lsin ( ), u holda

(1) dan ga ega bo`lamiz. Xuddi shunday agar, <sub>bo`lsa,</sub> kelib chiqadi. Shunday qilib quyidagi teoremaga ega bo`lamiz:
Teorema (ko`paytirish teoremasi): Agar , bo`lsa
<sub>(2)
(2) ga ko`paytirish formulasi deyiladi.</sub>
tasodifiy hodisalar uchun bo`lsa,

bo`ladi.
Ta`rif: bo`lsa, hodisasi hodisasidan bog`liqmas deyiladi.
Agar hodisasi hodisasidan bog`liq bo`lmasa, hodisasi ham, hoisasidan bog`liq bo`lmaydi. Haqiqatan ham, ko`paytirish teoremasiga asosan hodisasi hodisasidan bog`liqmas bo`lganligi uchun ko`paytirish teoremasiga asosan
.
Bundan kelib chiqadi, ya`ni bog`liqmaslik o`zaro ekan.
Agar va hodisalari bog`liqmas bo`lsalar, va , va , va hodisalar juftliklari ham bog`lanmagan bo`ladi.
Masalan, va hodisalari bog`liqmaslikni ko`rsatamiz.

tengligidan bo`lganligi uchun

kelib chiqadi. Demak, va hodisalaribog`liqmas ekan.
Bog`liqmas hodisalar uchun ko`paytirish teoremasi

ko`rinishni oladi.
Endi hodisalarning bog`liqsizlik tushunchasini umumlshtiramiz.
Ta`rif. Agar har qanday va lar uchun

tenglik o`rinli bo`lsa, hodisalar birgalikda bog`liqmas deyiladi.
Ta`rifdan ko`rinadiki, birgalikda bog`liqmas hodisalar juft-jufti bilan bog`liqmas bo`ladi, lekin hodisalarning juft-jufti bilan bog`liqmasligidan ularning birgalikda bog`liqmasligi umuman olganda kelib chiqmaydi.
Bunga quyidagi misol yordamida ishonch hosil qilish mumkin.
S. N. Bernshteyn misoli: Tetraedrning birinchi yog`i qizil rangga ( ), ikkinchi yog`i ko`k rangga ( ), uchinchi yog`i sariq rangga ( ), to`rtinchi yog`i uchala rangga ( ) bo`yalgan. Tetraedr tashlanganda tushgan yoqda qizil, ko`k, sariq ranglarning ko`rinish ehtimollari teng va
.
Shartli ehtimollar esa
.
Demak mos shartli va shartsiz ehtimollar teng. Bu esa hodisalari juft-jufti bilan bog`liqmasligini ko`rsatadi.
Lekin va hodisalari ro`y berganligi ma`lum bo`lsa, albatta hodisasi ham ro`y beradi, ya`ni
.
Demak hodisalari birgalikda bog`liq ekan.
Teorema. ehtimollik fazosi berilgan bo`lsin. hodisalari birgalikda bo`lmagan hodisalarning to`la guruhini tashkil qilsin ( ). U holda ixtiyoriy uchun
(3)
o`rinli bo`ladi.
(3) formulaga to`la ehtimollik formulasi deyiladi.
Isboti. va lar birgalikda bo`lmagan hodisalarning to`la guruhini tashkil qilganligi uchun
, va ( ).
Qo`shish aksiomasi va sharli ehtimollik formulasiga asosan
.
Teorema isbot bo`ldi.
Masala. ta nazorat variantlaridan tasi “baxtli” birinchi variant olishga kelgan talabaning “baxtli” variant olish ehtimoli kattami, yoki ikkinchiniki.
Yechish. Birinchi talabaning “baxti” variant olish ehtimoli ga teng.
-birinchi talabaning “baxtli” variant olish hodisasi, -birinchi talabaning “baxtli” variant olmaslik hodisasi va -ikkinchi talabaning “baxtli” variant olish hodisasi bo`lsin. U holda to`la ehtimollik formulasiga asosan
.
Demak, ikkinchi talabaning “baxtli” variant olish ehtimoli ham ga teng ekan.
Endi -hodisasi ro`y bergan bo`lsa, qaysi orqali ro`y berganlik ehtimoli uchun formula keltirib chiqaramiz. Oldingi teorema shartlarida ko`paytirish teoremasiga asosan
.
Bundan to`la ehtimollik formulasiga asosan
( ) (4)
Bu formulaga Beyes formulalari deyiladi.
Masala. Idishda n ta shar bor . Oq sharlar haqida -( ) ta gipoteza bo`lishi mumkin.
-idishda ta oq shar bo`lish hodisasi bo`lsa bo`ladi. Idishdan olingan shar oq bo`lib chiqdi. (B hodisasi) Idishda ta oq sharlar bo`lgan bo`lish ehtimoli topilsin.
, u holda (4) formulaga asosan

Shunday qilib gipoteza katta ehtimolli ekan.
Ikkita A i V tasodifiy hodisalar bir-biri bilan qancha-lik bog’langan, bu hodisalardan bittasining sodir bo’lishi ik-kinchisining sodir bo’lish imkoniyatiga qay darajada ta’sir qi-ladi degan savol tez-tez paydo bo’ladi.
Ikkita hodisa o’rtasidagi bog’lanishning eng sodda misoli sifatida hodisalardan birining sodir bo’lishi ikkinchisining albatta sodir bo’lishiga olib keladigan yoki, aksincha, hodisalar-dan birining sodir bo’lishi ikkinchisining sodir bo’lish imko-niyatini yo’qqa chiqaradigan holatlarni keltirish mumkin.
Agar eksperiment natijasida A va V hodisalar bir vaqt-ning o’zida ro’y berishi mumkin bo’lmasa, ular birgalikda bo’lma-gan hodisalar deb ataladi, aks holda esa birgalikda bo’lgan hodi-salar deb ataladi.