Matematika fanidan Mavzu: “Extimolik xossalari shartli ehtimollik xodisalarning bog'liqsizligi” mavzusidagi

5-misol. O’q uzishda nishonga tegish va xato ketish — qara-ma-qarshi hodisalar. Agar A nishonga tegish bo’lsa, u holda xa-to ketishdir.
A hodisaning ro’y berishi va V hodisaning ro’y bermasli-gidan iborat bo’lgan hodisa A va V hodisalarning ayirmasi deb ataladi va g’V orqali belgilanadi.
Agar ikkita hodisadan birining ehtimolligi ikkinchisi-ning ro’y berishi yoki ro’y bermasligiga bog’liq bo’lmasa, u holda bunday hodisalar bog’liqmas deb ataladi. Aks holda bu hodisalar bog’liq deb ataladi.
6-misol. Tanga 2 marta tashlanmoqda. Birinchi tashlashda gerbning chiqishi (A hodisa)ning ehtimolligi ikkinchi tashlash-da gerbning chiqishi (V hodisa)ga bog’liq emas. O’z navbatida, ik-kinchi tashlashda gerbning chiqishi birinchi tashlashning natija-siga bog’liq emas. Shunday qilib, A va V hodisalar bog’liq emas.
Agar bir nechta hodisaning ixtiyoriy ikkitasi o’zaro bog’liq bo’lmasa, u holda bunday hodisalar juft-jufti bilan bog’liq emas deb ataladi.
A va V ikkita tasodifiy hodisa bo’lib, bunda bo’l-sin. Bog’liq hodisalarning ta’rifidan ikkita hodisadan biri-ning ehtimolligi ikkinchisining ro’y berishi yoki ro’y bermasli-giga bog’liq ekanligi kelib chiqadi. Shuning uchun, agar bizni A hodisaning ehtimolligi qiziqtirsa, u holda V hodisaning ro’y berganligini bilish muhimdir.
A hodisaning V hodisa ro’y berganligi shartidagi ehtimol-ligi shartli ehtimollik deb ataladi va orqali belgi-lanadi.
7-misol. Qutida 3 ta oq va 3 ta qora shar bor. Qutidan ta-vakkaliga orqaga qaytarmasdan ikki marta bittadan shar olina-di. Agar birinchi sinovda qora shar chiqqan bo’lsa (V hodisa), ik-kinchi sinovda oq sharning chiqishi (A hodisa)ning ehtimolligi topilsin.
Echish. Birinchi sinovdan keyin qutida hammasi bo’lib 5 ta shar, ulardan 3 tasi oq shar qoldi. Qidirilayotgan shartli ehti-mollik ga teng.
Endi shartli ehtimollik formulasini chiqaramiz. A va V hodisalarning ro’y berishiga n ta elementar hodisadan mos ra-vishda m va k tasi qulaylik tug’dirsin; u holda, (1.1) ga asosan, ularning shartsiz ehtimolliklari mos ravishda va ga teng. A hodisaning ro’y berishiga V hodisa ro’y berganligi shartida r ta elementar hodisa qulaylik tug’dirsin, u holda, (1.1) ga asosan, A hodisaning shartli ehtimolligi

ga teng. Surat va maxrajni n ga bo’lib, shartli ehtimollikning

yoki (2.1)
formulasini olamiz, chunki AV hodisaga r ta elementar hodisa mos keladi, binobarin, — uning shartsiz ehtimolligi.
Klassik sxemaga tushmaydigan , ya’ni mumkin bulgan xollar soni chekli bula oladigan yana bir modelni keltiramiz. Dastlab bir masalani kurib utaylik .
Masala. Uzunligi bir metrga teng kesma tavakkaliga uch bulakka ajratildi . Xosil bulgan uch kesmadan uchburchak tuzish mumkinligini extimolligini toping.
Demak , masala shartiga kura , uchchala kesma uzunliklari yigindsi 1 teng bulgan ixtiyoriy musbat sonlar bula oladi.
Bu esa , uz navbatida, kontinium sondagi natijalarga ega tajriba bilan ish kurishga tugri kelishni kursatadi. Bu masala echimi uchun klassik ta’rifdan foydalana olmaymiz. Bunday tipdagi masalalar geometrik extimolliklarni xisoblashga olib keladi.
Faraz kilaylik , masalan, tekislikda biror G soxa ajratilgan bulib , uning kism ostisi g bulsin. Agar G soxaga tavakkaliga nukta tashlayotgan bulsa, shu nuktaning g ga tushish extimolligi kancha buladi?-degan savol urinli buladi. Shuni ta’kidlab utish lozimki, “G soxaga tavakkaliga nukta tashlanayapti “-deyilganda biz kuyidagini tushunamiz: tashlanayotgan nukta G soxaning ixtiyoriy nuktasiga tushishi mumkin va G ning biror kismi ostiga nukta tushishi extimolligi shu kism ulchovi (uzunlik,yuza va x.k) ga proportsional bulib , uning joylashishi va shakliga boglik emas.
Demak , yukorida ta’kidlanganlarni umumlashtirib, geometrik extimollikning kuyidagi ta’rifini keltirishimiz mumkin: G soxaga tavakkaliga tashlanayotgan nuktaning uning kism ostisi g ga tushib kolishi extimolligi



formula bilan xisoblanadi. Bu erda mes(messung-ulchov) orkali uzunlik , yuza , xajm belgilangan .
Endi yukorida kuyilgan masala echimini keltiramiz. Biz A q{3 bulakdan uchburchak tuzish mumkin} – xodisasini kiritamiz.”[0,1]Kesmaga tavakkaliga 2 nukta tashlanayapti”-deb,
Ular koordinatalarini x va y orkali belgilaymiz.U xolda G- birlik kvadrat va esa g esa uchburchak tengsizligidan aniklanadi:

G va g coxalarini tekislikda ajratamiz va endi

ekanini e’tiborga olsak,

Bu masaladan kurinadiki, g va G tuplamlar, va demak, A va  tuplamlar kontinium tipda bulishi mumkin ekan.

Shuni ta’kidlab utish lozimki , geometrik extimollikni xam kullanish doirasi chegaralangandir . Buning sababi shundaki , biz ulchovga ega bulmagan soxalar bilan tuknashib kolishimiz mumkin. Shu sababli, yukoridagi ta’riflardan xam umumiysi –aksiomatik ta’rifga murojat kilishimizga tugri keladi.
TEKShIRISh SAVOLLARI

1. Statik ehtimollik nima? Unihisoblashing afzallik va noqulay tomonlarini k´rsating.

2. 
   Nisbiy takrorlanish va uning xossalari.Byuffen va K.Pirson tajribalarining mohiyati nimadan iborat?
   
3. 
   Geometrik ehtimollik nima?
   

6-7 Ma’ruzalar: Elementar xodisalarning ixtiyoriy fazosi. Extimollar nazariyasi aksiomalari (4 soat)
Dars rejasi:
1. Ixtiyoriy fazo uchun xodisalar va sigma algebrasi tushunchasi
2. Extimolni aksiomatik ta’rifi
3. Aksiomatik ta’rifdan kelib chikadigan xossalar va xulosalar

Adabiyot:

1. 
   A.A.Borovkov. Teorii veroyatnostey. Nauka 1986
   
2. 
   B.V. Gnedenko Kurs teorii veroyatnostey. Nauka 1986
   
3. 
   S.X.Sirojiddinov , M.M.Mamatov. Extimollar nazariyasi va matematik statistika. Ukituvchi. 1980
   

Biz 3-4 ma’ruzalarda biror tasodifiy xodisaning extimolligi uni tashkil etuvchi elementar xodisalar extimolliklari yigindisi orkali aniklanishi mumkinligini kursatgan edik. Bunda biz  elementlar fazosi  kup bilan sanokli bulishi kerakligini ta’kidlab utgan edik. Ammo shunday tajribalar borki ular mos  fazo kontinium tipda bulishi mumkin ekan. Masalan, biror [a,b] kesmaga tavakkaliga nukta tashlash tajribasi (aytaylik-temperaturani ulchash) kontinium natijalarga ega , chunki natija sifatida shu kesmaning ixtiyoriy nuktasi olinishi mumkin. Bunday xollarda kesmaning ixtiyoriy tuplam ostini xodisa buladi deb xisoblash notugridir. Shu sababli xodisalar sifatida tuplam ostilarning maxsus sinflari algebra va

-algebra (sigma algebra) larni kiritamiz.
1-Ta’rif. A tuplam algebra deb ataladi, agar

(A)qΩЄA bulsa;

(A2) FЄA va VЄA ekanidan yoki ekani kelib chikadi;
(A3) Agar AЄA bulsa , u xolda AЄA;


2-ta’rif.Tuplamlar sinfi F -algebra deb ataladi, agar (A2) xosa tuplamlarning ixtieriy {A_n} ketma-ketligi uchun urinli bulsa :

(A2)’{A_n}Є F ekanidan kelib chiksa.

Odatda F tuplamni xodisalarni Borel maydoni deb xam ataladi.

Demak, algebra-chekli sondagi tuldirish , birlashma(yoki kesishma) amallariga nisbatan tuplamlarning sanokli sondagi bajarilishiga nisbatan tuplamlarning yopik sinfi ekan.
Bir necha misollar keltiramiz:
1-Misol:Ωq{ω₁,ω₂ }bulsa Aq{Ø,Ω,ω₁,ω₂ };
Algebra 4 ta elementdan iborat.
2-Misol: Ωq{ω₁,ω₂,..,ω₆}-shoshkol tosh tashlash tajribasiga mos kelsa A sinf 2⁶ q64 elementdan iborat buladi:
Aq{Ø,Ω,ω₁,ω₂,..,ω₆, {ω₁,ω₂ },{ω₂,ω₃ },...,{ω₅,ω₆},{ω₁,ω₂,ω₃ },...}
3-misol: oldingi misolni umulashmasi sifatida Ωq{ω₁,ωn }-chekli fazo bulsa , A algebra elementdan iborat bulib uning ixtiyoriy elementi buladi.
Demak,  chekli tuplam bulsa , A –algebra  ning barcha tuplam ostilaridan iborat buladi.
Agar  kontinium tipda bulsa , A ning elementlarin sanab bulmaydi, ya’ni A xam kontinium tipda buladi .
4-misol: [0.1] kesmadan olingan chekli sondagi kesma va intervallardan tuzilgan barcha tuplamlar algebrani tashkil etadi, ammo  -algebrani tashkil etmaydi.
Biz endi xodisa extimoli tushunchasini kiritamiz. -fazo va uning tuplam ostilaridan tuzilgan A algebrani olamiz.
3-Ta’rif.(,A) juftliklardagi extimollik A da aniklangan sonli funktsiya bulib , kuyidagi xossalarga egadir
(A .N.Kolmogorov aksiomalari):
(V1) R(A)0,AA;
(V2) R()q1;
(V3) Agar {A_n} xodisalar ketma-ketligi uchun A_iA_jq Ø, i ,
bulsa , u xolda


(1)
Shuni ta’kidlab utish lozimki (V3) aksiomaga chekli sondagi Aj xodisalar uchun (1) additivlik va kuyidagi uzluksizlik aksiomalari ekvivalentdir:
(V3), {V_n} xodisalar ketma-ketligi uchun va shartlar bajarilsa , u xolda R(Vn)R(V) yakinlashish n da urinlidir.
4-Ta’rif: (,A,R)-uchlik keng ma’nodagi extimollik fazosi deb ataladi.
Umuman, (,A) yoki (,F) juftliklar ulchovli fazolar deb ataladi .
(,F,R)-extimollik fazosini tuzish xar tajribaning matematik modelini tuzishda eng asosiy kadam xisolanadi.

Xulosa
Agar ikkita A va V hodisalar birgalikda qaralayotgan bo’lsa, ulardan birining yuz berishi ikkinchisining yuz berishiga qanday ta’sir qilishini bilish katta ahamiyatga ega. Hodisalar orasidagi bunday bog’lanishlarning eng soddasi sababli bog’lanishlardir. Bunda A hodisaning yuz berishi V hodisaning yuz berishiga va aksincha A hodisaning yuz bermasligi V hodisaning ham yuz bermasligiga olib keladi.

Misol. A hodisa biror korxona mahsulotlaridan tasodifan olingani yaroqsiz emasligidan iborat, V hodisa esa shu mahsulotning birinchi sortli bo’lishidan iborat bo’lsin. Bunda V hodisaning yuz berishi A hodisaning yuz berishiga olib keladi va aksinchaA hodisa V hodisaning yuz berishini inkor qiladi. Lekin amalda hodisalar orasida sababli bog’lanishlar bo’lmasdan balki qandaydir bog’lanish bor bo’lishi mumkin.
Misol. O’yin soqqasi tashlanganda juft ochkoning tushishi A hodisa, 3 dan ko’p ochkoning tushish V hodisa bo’lsin. Bu erda sababli bog’lanish yo’q. Lekin qandaydir bog’lanish bor. Haqiqatdan ham, V hodisaning keltirilgan uchta hollardan (4, 5, 6 ochkolarning tushishi) ikkitasi (4 va 6 tushishi) A hodisaning yuz berishiga imkoniyat yaratadi. Shuning uchun, agar V hodisani yuz berdi deb hisoblasak A hodisaning yuz berish imkoniyati bo’ladi. Ammo soqqani tashlashning natijasi haqida qo’shimcha axborot bo’lmagan holda A hodisaning yuz berish imkoniyati nisbat bilan baholanadi. bo’lganligi uchun V hodisaning yuz berishi A hodisaning ikoniyatini oshirishi ko’rinib turibdi.
Ta’rif. A va V lar qandaydir  tajribaga nisbatan tasodifiy hodisalar bo’lib, R(V)>0 bo’lsin.
Adabiyotlar ro’yxati

1.