Matematika fanidan to’garak ish rejasi

Ko'phadning ildizi. Bezu teoremasi.
Bizga f(x) = a_n xⁿ+ a_n-1 x^n-1 + a_n-2 x^n-2+... + a₂ x² + a x +a₀ , (1) ko'phad berilgan bo'lsin.
Ta'rif. Agar x o'zgaruvchimng biror a qiymatida f(x) ko'phadning qiymati nolga aylansa, bu a soni f(x) ko'phadning ildizi deyiladi.
f(x) ko'phadning ildizlarini aniqlash uchun uni nolga tenglashtirib, /(x) = 0 tenglamani yechish kerak. Bu tenglamaning ildizlari f(x) ko'phadning ham ildizlari bo'ladi.
Bezu teoremasi. f(x) ko'phadni x-a ikkihadga bo'lishdan chiqqan qoldiq ko'phadning x = a bo'lgandagi qiymatiga teng: r =f(a) = a₀ aⁿ + a₁a^n-1+ ... + a_n-1 a +a_n.
I s b o t. Qoldiqli bo'lish formulasidan foydalanamiz: f(x) = (x - d)q{x) + r.Agar bu tenglamada x= a desak, r=f(a) bo'ladi.
N a t ij a. f(x) ko'phad x - a ga bo'lingandagina va faqat shundagina a soni f(x) ko'phadning ildizi bo'ladi.
Mi sol. f(x) = x³ - 1 ko'phad x - 1 ga bo'linadi.Chunki x= 1 soni/(x) =x³- 1 ko'phadning ildizi bo'ladi, ya'ni f(l)=0.
Shunday qilib, /(x) ko'phadning ildizlarini izlash uning x ± a ko'rinishdagi chiziqli bo'luvchilarini topish bilan teng kuchlidir. Bezu teoremasidan quyidagi natijalarni olamiz (xⁿ±aⁿ ikkihadning x±a ikkihadga bo'linishi):
a) ikki sonning bir xil darajalari ayirmasi shu sonlarning ayirmasiga bo'linadi. Chunki xⁿ-aⁿ ni x - a ga bo'lganda qoldiq aⁿ-aⁿ bo'lib, u nolga teng;
b) ikki sonning bir xil darajalari yig'indisi shu sonlar ayirmasiga bo'linmaydi. Chunki xⁿ-aⁿ ni x- a ga bo'lganda qoldiq aⁿ +aⁿ =2aⁿ bo'lib , bu qoldiq nolga teng emas;
d) ikki sonning bir xil juft darajalari ayirmasi shu sonlarning yig'indisiga bo'linadi, toq darajalarining ayirmasi esa bo'linmaydi. Chunki xⁿ-aⁿ ayirmani x+ a ga bo'lganda qoldiq (-aⁿ)-aⁿ ga teng bo'lib, bu qoldiq esa n juft bo'lganda nolga teng, n toq bo'lganda esa -2aⁿ ga teng bo'ladi;
e) ikki sonning bir xil toq darajalarining yig'indisi shu sonlarning yig'indisiga bo'linadi, juft darajalarining yig'indisi esa bo'linmaydi. Chunki xⁿ-aⁿ yig'indini x+aga bo'lganda qoldiq (-aⁿ)+aⁿ ga teng bo'lib, bu qoldiq n toq bo'lganda nolga teng, n juft bo'lganda 2aⁿ ga teng bo'ladi.
Misollar:
1) x² - a² ikkihad x-a ga ham, x+a ga ham bo'linadi;
2) x² + a² ikkihad x- a ga ham, x+ a ga ham bo'linmaydi;