Matematika fanidan to’garak ish rejasi

2-masala. 4∙2^x = 1 tenglamani yeching.
Tenglamani 2^x+2 = 2° ko'rinishda yozamiz, bundan x + 2 = 0 .
Javob. x = -2.
3-masala. ^23x ∙ 3^x = 576 tenglamani yeching.
2^3x= (2³)^x= 8^x, 576 = 24² bo'lgani uchun tenglamani 8^x ∙ 3^x= 24² yoki 24^x = 24² ko'rinishda yozish mumkin. Bundan x = 2. Javob. x = 2. A
4-masala. 3^r+1 - 2∙3^x-2 = 25 tenglamani yeching.
Tenglamani o'ng qismida umumiy ko'paytuvchi 3^x-2 ni qavsdan tashqariga chiqarib,
3^x-2(3³-2)= 25; 3^x-2 ∙ 25=25 ni hosil qilamiz, bundan 3^x-2=l; x -2 = 0; x = 2.
Javob : x = 2.
5- m a s a 1 a. 3^x = 7^X tenglamani yeching.
7^X ≠ 0 bo'lgani uchun tenglamani — - i ko'rinishida yozish (3/7)^x = 1, x = 0. Javob. x = 0. A.
6-masala. 3∙2^X+1 + 2∙ 5 ^x-2 = 5^X + 2 ^x-2 tenglamani yeching.
Tenglamani 3 ∙ 2^x+1 - 2^X-2 = 5 ^x - 2∙5^X-2 ko'rinishda yozamiz, bundan 2 ^x-2(3 ∙ 2³ -1) = 5 ^x-2(5² - 2),
2 ^x-2 ∙ 23 = 5 ^x-2∙23, (2/5)^x-2 = 1, x-2 = 0. Javob. x = 2.
7-masala. 9^X-4-3^x-45 = 0 tenglamani yeching.
3^X = t almashtirish bilan berilgan tenglama t² - 4t - 45 = 0 kvadrat tenglamaga keltiriladi. Bu tenglamani yechib, uning ildizlarini topamiz: t₁ =9, t₂=-5, bundan 3^x = 9; 3^x = -5. 3^X = 9 tenglama x = 2 ildizga ega, 3^x =-5 tenglama esa ildizga ega emas, chunki ko'rsatkichli funksiya manfiy qiymat qabul qilishi mumkin emas.
Javob. x = 2.
8-masala. Tenglamalar sistemasini yeching:
2^x=u va 3^x=v belgilashlar kiritamiz. U holda sistema quyidagicha yoziladi:
Bu sistemani yechib, u = 2, v = 1 ni topamiz. Demak, 2^x = 2, 3^y=l. Shu sababli, x= 1, y= 0. Javob. (1; 0).
Mustaqil yechish uchun misollar:
Tenglamalarni yeching:
1) 4^x-1=1; 2) 0,3^3x-2=1; 3) 2^2x=2⁴; 4) (1/3)^3x=(1/3)^-2;
5) 27^x=1/3; 6) 400^x=1/20; 7) (1/5)^x=25; 8) (1/3)^x=1/81;
1) 4^x-1=1; 2) 0,3^3x-2=1;
3) 2^2x=2⁴; 4) (1/3)^3x=(1/3)^-2;
5) 27^x=1/3; 6) 400^x=1/20;
7) (1/5)^x=25; 8) (1/3)^x=1/81;
9) 3∙9^x=81; 10) 2∙4^x=64;
11) 3^x+1/2+3^x-2=1; 12) 0,5^x+7 ∙ 0,5^1-2x=2;
13) 0,6^x+3= 0,6^2x-5; 14) 6 ^3x-1=6 ^1-2x;
15) 3 ^2x-1+3 ^2x=108; 16) 3^x-1+3 ^2x+3^x+1 =63;
17) 2^3x+2 -2^3x-2 =30; 18) 2^x+1+2^x-1+2^x =28;
19) 5^x=8^x; 20) (1/2)^x=(1/3)^x;
21) 3^x=5^x; 22) 4^x=3^x/2;
23) 9^x -4∙3^x+3=0; 24) 16^x -17∙4^x+16=0;
25) 25^x-6∙5^x+5=0; 26) 64^x-8^x-56=0;
27) 7^x-7^x-1=6; 28) 3^2y-1+3^2y-2-3^2y-4 =315;
29) 5^3x+3∙5^3x-2=140; 30) 2^x+1+3∙2^x-1-5∙2^x+6=0.


25-Mavzu: Ko'rsatkichli tengsizliklarni yechishning asosiy usullari.

Ko'rsatkichli tengsizliklarni yechish uchun ko'rsatkichli funksiyalarning xossalaridan foydalaniladi. Ko’rsatkichli tengsizliklarni yechish ko’pincha a^x ›a^b yoki a^x‹a^b tengsizliklarni yechishga keltiriladi. Bu tengsizliklarni yechish ko’rsatkichli funksiyaning o’sish yoki kamayish xossalariga bog’liq bo’ladi, ya’ni y=a^x funksiya a > 1 bo'lganda monoton o'suvchi; 0 < a < 1 bo'lganda monoton kamayuvchi bo'lib, bu xossalardan quyidagilar kelib chiqadi:
1) Agar a > 1 bo'lsa, x₂›x₁ ; a^x2›a^x1,
2) Agar 0 bo'lsa, x₂›x₁ ; a^x2‹a^x1.
1-masala. 3^x › 27 tengsizlikni yeching.
27 > 0 bo'lganligi uchun ko'rsatkichli funksiyaning xossasiga ko'ra berilgan tengsizlik ildizga ega. Ildizlardan biri x = 3 bo'ladi, chunki 3³ = 27. Boshqa ildizlar yo'q, chunki y = S^x funksiya butun son o'qida o'sadi va shu-ning uchun x > 3 da 3^x > 27 va x < 3 da 3^x < 27.
2-masala. 4∙2^x ≥ 1 tengsizlikni yeching.
Tengsizlikni 2^x+2 ≥ 2° ko'rinishda yozamiz, bundan x + 2 ≥ 0 . Javob.x≥-2.
3-masala. ^23x ∙ 3^x≥ 576 tengsizlikni yeching.
2^3x= (2³)^x= 8^x, 576 = 24² bo'lgani uchun tengsizlikni 8^x ∙ 3^x≥24² yoki 24^x ≥ 24² ko'rinishda yozish mumkin. Bundan x ≥ 2. Javob. x ≥ 2.
4-masala. 3^r+1 - 2∙3^x-2 ≤ 25 tengsizlikni yeching.
tengsizlikni o'ng qismida umumiy ko'paytuvchi 3^x-2 ni qavsdan tashqariga chiqarib,
3^x-2(3³-2) ≤ 25; 3^x-2 ∙ 25≤ 25 ni hosil qilamiz, bundan 3^x-2 ≤ l; x -2 ≤ 0; x ≤ 2.
Javob : x ≤ 2.
5- m a s a 1 a. 3^x ≤ 7^X tengsizlikni yeching.
7^X ≠ 0 bo'lgani uchun tengsizlikni ko'rinishida yozish (3/7)^x ≤ 1, x = 0.
Javob. x = 0.
6-masala. 3∙2^X+1 + 2∙ 5 ^x-2 ≥ 5^X + 2 ^x-2 tengsizlikni yeching.
Tenglamani 3 ∙ 2^x+1 - 2^X-2 ≥ 5 ^x - 2∙5^X-2 ko'rinishda yozamiz, bundan
2 ^x-2(3 ∙ 2³ -1) ≥5 ^x-2(5² - 2), 2 ^x-2 ∙ 23 ≥ 5 ^x-2∙23, (2/5)^x-2 ≥ 1, x-2 ≥ 0.
Javob. x ≥2.
7-masala. 9^X-4-3^x-45≥ 0 tengsizlikni yeching.
3 ^X = t almashtirish bilan berilgan tengsizlik t² - 4t - 45 ≥ 0 kvadrat tengsizlikga keltiriladi. Bu tengsizlikni yechib, uning ildizlarini topamiz: t₁ =9, t₂=-5, bundan 3^x ≥ 9; 3^x = -5. 3^X ≥ 9 tengsizlik x ≥ 2 ildizga ega, 3^x =-5 tengsizlik esa ildizga ega emas, chunki ko'rsatkichli funksiya manfiy qiymat qabul qilishi mumkin emas.
Javob. x ≥ 2.
Misollar:
1) 4^x-1≥1; 2) 2^2x≥2⁴; 3) (1/3)^3x≥ (1/3)^-2;
4) 400^x≥1/20 5) 3∙9^x≥81; 6) 3^x+1/2+3^x-2 ≥1;
7) 0,6^x+3≥ 0,6^2x-5; 8) 3 ^2x-1+3 ^2x≥108;
26-Mavzu: Sonning logarifmi. Asosiy logarifmik ayniyatlar.
Sonning logarifmi. Darajaga ko'tarish amaliga teskari amaini qarab chiqamiz. a^x = b ifodada x noma'lum bo'lib, uni topish ko'rsatkichni topishamali deyiladi.
Misollar: 3^x =27 bo'lsa, x = 3; 2^x =8 bo'lsa, x = 3; 5^x = 25 bo'lsa, x = 2;
10^x = 1000 bo'isa, x = 3; 10^x = 0,01 bo'lsa, x = -2.
Ta'rif. Berilgan sonning berilgan asosga ko'ra logarifmi deb, berilgan sonni hosil qilish uchun shu asosni ko'tarish kerak bo'lgan daraja ko'rsatkichini aytiladi.
Agar a^x = b bo'lsa, ta'rifga ko'ra x = log _ab. Bunda a — logarifmning asosi, b — logarifmlanayotgan son, deb olinadi. b>0 bo'lishi ko'rinadi.
a^x=b=> x = log_a b => a^{log b} =b ayniyat hosil bo'ladi. Buni asosiy logarifmik ayniyat deyiladi.
Logarifmning ta'rifidan uning quyidagi xossalari kelib chiqadi:

1. 
   Asos 1 dan farqli har qanday musbat son bo’lganda: log_a1=0;
   
2. 
   Asosning shu asosga ko’ra logarifmi 1 ga teng: log_aa =1;
   
3. 
   Log_ab=log_ac tenglikdan b=c ekanligi kelib chiqadi.
   

Algebraik ifodaga kirgan sonlarni ularning fogarifmlari orqali ifodalashni shu ifodani logarifmlash deyiladi. Logarifmlashga teskari amaini potensirlash deyiladi.
1. Ko'paytmaning logarifmi ko'paytuvchilar logarifmlarining yig'indisiga teng:

2. Bo'linmaning logarifmi bo'linuvchi va bo'luvchi logarifmlarining ayirmasiga teng:

3. Darajaning logarifmi daraja ko'rsatkichi bilan asos logariftnining ko'paytmasiga teng:

4. Ildizning logarifmi ildiz ostidagi son logarifmining ildiz ko 'rsatkichiga bo 'linganiga teng:

Mustaqil yechish uchun mashqlar
Hisoblang:
I. 1) log_l05 + log₁₀2; 2) log₁₀ 8 + log_l() 125;
3) log_l22 ₊ log₁₂72; 4) log₃ 6 + log₃(3/2) .
II. 1) log₂15 - log₂(15/16); 2) log₅75 - log₅ 3;
3) log _1/354-Iog _1/32; 4) log₈(1/16) - log₈ 32.
I


II.








Algebraik ifodaga kirgan sonlarni ularning fogarifmlari orqali ifodalashni shu ifodani logarifmlash deyiladi. Logarifmlashga teskari amaini potensirlash deyiladi.
1. Ko'paytmaning logarifmi ko'paytuvchilar logarifmlarining yig'indisiga teng:

2. Bo'linmaning logarifmi bo'linuvchi va bo'luvchi logarifmlarining ayirmasiga teng:

3. Darajaning logarifmi daraja ko'rsatkichi bilan asos logariftnining ko'paytmasiga teng:

4. Ildizning logarifmi ildiz ostidagi son logarifmining ildiz ko 'rsatkichiga bo 'linganiga teng:

1. 
   Bir asosdan boshqa asosga o’tish formulasi: .
   

Bir asosdan boshqa asosga o’tish formulasidan kelib chiqadigan ayniyatlar::


Mustaqil yechish uchun mashqlar
Hisoblang:
8.127.
8.128.

8.129. x ni uning berilgan logarifmi bo’yicha toping (a>b,b>0):
1) log₃x=4∙log₃a+7∙log₃b; 2) log₅x= 2∙log₅a+3∙log₅b.
Ayniyatlar:

.
Hisoblang:
1.
2.
3.


27-Mavzu: Logarifmik tenglamalarni yechish usullari.

Tarif: log _a x =b (a> 0, a≠1) tenglama tenglama eng sodda logarifmik tenglama deyiladi. x=a^b son qaralayotgan tenglamaning ildizi bo'lishini ko'rish qiyin emas. Berilgan tenglama x= a^b dan boshqa ildizga ega emasligini y= log _a x logarifmik funksiyaning monotonligidan foydalanib isbotlash mumkin . log _x N= b ko'rinishdagi tenglamani qaraymiz. Bu tenglama-ning aniqlanish sohasi x ning x> 0, x≠1 munosabatlarni qanoatlantiruvchi barcha qiymat-laridan tashkil topadi. Agar N≤ 0 bo'lsa, bu tenglama yechimga ega bo'lmaydi. N> 0 bo'lsa, x = N^1/b dan iborat yagona yechimga ega bo'ladi.

Agar birinchi tenglamaning hamma ildizlari ikkinchi tenglamaning ildizlari bo’lsa, u holda ikkinchi tenglama birinchi tenglamaning natijasi bo’ladi. Dastlabki tenglamaning natijasi bo’lgan tenglamada har doim chet ildizlar paydo bo’lavermaydi; muhimi faqat dastlabki tenglamaning ildizlari yo’qolmasa bas. Ayni bir ildizlar to’plamiga ega bo’lgan tenglamalar teng kuchli tenglamalar deb ataladi. Tenglamalarning xossalari:

1. 
   Ikkita teng kuchli tenglamadan istalgan biri ikkinchisining natijasidir;
   
2. 
   Tenglamaning istalgan hadini uning bir qismidan ikkinchi qismiga ishorasini qarama-qarshisiga almashtirib o’tkazish mumkin;
   
3. 
   Tenglamaning ikkala qismini nolga teng bo’lmagan ayni bir songa ko’paytirish yoki bo’lish mumkin.
   

Tenglamaning ikkala qismini noma’lum qatnashgan ifodaga bo’lishda ildiz yo’qolishi mumkin, shuning uchun ikkala qismi umumiy ko’paytuvchini o’z ichiga olgan tenglamalar barcha hadlarini tenglamaning bir qismiga o’tkazish va ko’paytuvchilarga ajratish bilan yechiladi. Tenglamalarni yechishda muhimi ildizlarini yo’qotmaslik kerak, chet ildizlarning bor-yo’qligini esa tekshirish bilan aniqlash mumkin. Shuning uchun tenglamani almashtirishda har bir navbatdagi tenglama oldingi tenglamaning natijasi ekanini kuzatib borish muhimdir.
1-misol. a) log₃X=9; b) log₂X =2 tenglamalarni yechamiz.
Ye c h i s h. a) Tenglamani potensirlaymiz. Natijada: x = 3⁹; b) tenglamani potensirlaymiz: x²= 64, bundan x= 8.
2-misol. a) log ₃ x < 9; b) log_1/3x<9 tengsizliklarni yechamiz.
Y e c h i s h. a) oldingi misolda log _ax = 9 tenglamaning x = 3⁹ ildizi topilgan edi. Asos a=3>1, b=9. Yechim: (0; 3⁹) yoki 0 < x < 3⁹;
b) a =1/3 (0; 1) bo'lgani uchun yechim (3 ^-9; +) oraliqdan iborat.