Matematika-informatika fakulteti amaliy matematika va informatika yo’nalishi

2.Optimal boshqarish uchun raqamli usullar.
Optimal boshqarish muammolari odatda chiziqli emas va shuning uchun odatda analitik echimlarga ega emas (masalan, chiziqli-kvadratik optimal boshqarish muammosi kabi). Natijada, optimal boshqarish muammolarini hal qilish uchun raqamli usullardan foydalanish zarur. Optimal nazoratning dastlabki yillarida (v. 1950 yildan 1980 yilgacha) optimal boshqarish muammolarini hal qilishda maqbul yondashuv shunday edi bilvosita usullar. Bilvosita usulda birinchi darajadagi maqbullik shartlarini olish uchun variatsiyalar hisob-kitobi qo'llaniladi. Ushbu shartlar ikki nuqta (yoki murakkab muammo bo'lsa, ko'p nuqta) ga olib keladi chegara muammosi. Ushbu chegara-qiymat muammosi aslida maxsus tuzilishga ega, chunki u $ a $ ning hosilasini olishdan kelib chiqadi Hamiltoniyalik. Shunday qilib, natijada dinamik tizim a Gamilton tizimi shaklning

bo'ladi kengaytirilgan Hamiltonian va bilvosita usulda chegara-qiymat masalasi echiladi (tegishli chegara yordamida yoki transversallik shartlar). Bilvosita usuldan foydalanishning go'zalligi shundaki, davlat va qo'shni (ya'ni, boldsymbol { lambda}) uchun echiladi va natijada olingan eritma ekstremal traektoriya ekanligi osonlikcha tasdiqlanadi. Bilvosita usullarning nochorligi shundaki, chegara masalasini hal qilish juda qiyin (ayniqsa, katta vaqt oralig'ini qamrab oladigan yoki ichki nuqta cheklovlari bilan bog'liq muammolar uchun). Bilvosita usullarni amalga oshiradigan taniqli dasturiy ta'minot dasturi - BNDSCO. 1980-yillardan boshlab raqamli optimal boshqaruvda mashhurlikka erishgan yondashuv shunday deb ataladi to'g'ridan-to'g'ri usullar. To'g'ridan-to'g'ri usulda holat yoki boshqaruv yoki ikkalasi ham tegishli funktsiya yaqinlashuvi (masalan, polinom yaqinlashishi yoki qismli doimiy parametrlash) yordamida taxminiylashtiriladi. Bir vaqtning o'zida funktsional xarajatlar $ a $ ga yaqinlashtiriladi xarajat funktsiyasi. Keyinchalik, funktsiya yaqinlashish koeffitsientlari optimallashtirish o'zgaruvchilari sifatida ko'rib chiqiladi va muammo shaklning chiziqli bo'lmagan optimallashtirish masalasiga "transkriptsiya qilinadi":
Minimallashtirish

Algebraik cheklovlarga boysunadi.

Amaldagi to'g'ridan-to'g'ri usul turiga qarab, chiziqli bo'lmagan optimallashtirish muammosi hajmi juda kichik (masalan, to'g'ridan-to'g'ri tortishish yoki kvazilinearizatsiya usuli kabi), o'rtacha (masalan,) bo'lishi mumkin. psödospektral optimal nazorat yoki juda katta bo'lishi mumkin (masalan, to'g'ridan-to'g'ri kollokatsiya usuli . Ikkinchi holatda (ya'ni, kollokatsiya usuli) chiziqli bo'lmagan optimallashtirish muammosi so'zma-so'z minglab-o'n minglab o'zgaruvchilar va cheklovlar bo'lishi mumkin. To'g'ridan-to'g'ri usuldan kelib chiqadigan ko'plab NLPlarning hajmini hisobga olgan holda, chiziqli bo'lmagan optimallashtirish masalasini chegara-muammoni hal qilishdan ko'ra osonroq bo'lishi mumkin. Biroq, bu NLPni chegara-qiymat muammosiga qaraganda osonroq hal qiladi. Hisoblashning nisbatan osonligi, xususan to'g'ridan-to'g'ri kollokatsiya usulining sababi NLP ning siyrak va ko'plab taniqli dasturiy ta'minot dasturlari mavjud (masalan, SNOPT[11]) katta siyrak NLPlarni echish uchun. Natijada, to'g'ridan-to'g'ri usullar (ayniqsa to'g'ridan-to'g'ri) yordamida hal qilinishi mumkin bo'lgan muammolar doirasi kollokatsiya usullari bugungi kunda juda mashhur bo'lgan) bilvosita usullar bilan echilishi mumkin bo'lgan muammolar doirasidan ancha katta. Darhaqiqat, bugungi kunda to'g'ridan-to'g'ri usullar shunchalik mashhur bo'lib ketdiki, ko'p odamlar ushbu usullardan foydalanadigan murakkab dasturiy ta'minot dasturlarini yozdilar. Xususan, bunday dasturlarning ko'pi o'z ichiga oladi DIRCOL,SOCS, OTIS, GESOP /ASTOS, DITAN. va PyGMO PyKEP.So'nggi yillarda, paydo bo'lishi tufayli MATLAB dasturlash tili, MATLAB-da optimal boshqaruv dasturi keng tarqalgan. To'g'ridan-to'g'ri usullarni amalga oshiradigan akademik ravishda ishlab chiqilgan MATLAB dasturiy vositalarining namunalariga quyidagilar kiradi RIOTS,DIDO, Bevosita, FALCON.m, va GPOPS,MATLAB vositasi ishlab chiqilgan sanoat namunasi PROPT. Ushbu dasturiy vositalar odamlar uchun ilmiy tadqiqotlar uchun ham, ishlab chiqarish muammolari uchun ham murakkab optimal boshqarish muammolarini o'rganish imkoniyatini sezilarli darajada oshirdi. Va nihoyat, umumiy maqsadli MATLAB optimallashtirish muhitlari ta'kidlandi TOMLAB kodlash murakkab optimal boshqarish muammolarini C va kabi tillarda ilgari mumkin bo'lganidan sezilarli darajada osonlashtirdi FORTRAN. Hozirgacha keltirilgan misollar ko'rsatdi doimiy vaqt tizimlar va boshqaruv echimlari. Darhaqiqat, hozirgi vaqtda optimal boshqaruv echimlari tez-tez qo'llanilmoqda raqamli, zamonaviy boshqaruv nazariyasi endi birinchi navbatda diskret vaqt tizimlar va echimlar. Nazariyasi Doimiy taxminlar[24] borgan sari tobora aniqroq ajratilgan optimal boshqarish muammosining echimlari asl, doimiy vaqt muammosining echimiga yaqinlashadigan sharoitlarni ta'minlaydi. Diskretizatsiya usullarining barchasi ham bunday xususiyatga ega emas, hattoki aniq ko'rinadigan narsalar ham. Masalan, muammoning dinamik tenglamalarini birlashtirish uchun o'zgaruvchan qadam kattaligi tartibini ishlatish, yechim yaqinlashganda nolga (yoki to'g'ri yo'nalishga) yaqinlashmaydigan gradyan hosil qilishi mumkin. Bevosita usul RIOTS izchil yaqinlashish nazariyasiga asoslanadi.
Ko'plab optimal boshqarish muammolari bo'yicha umumiy echim strategiyasi - bu xarajat uchun echim topish (ba'zan shunday deb ham ataladi) soya narxi ) lambda (t). Xarajat navbatdagi holat o'zgaruvchisini kengaytirish yoki qisqartirishning chegara qiymatini bitta raqamda umumlashtiradi. Cheklangan qiymat nafaqat keyingi navbatda unga tegishli bo'lgan yutuqlar, balki dasturning davomiyligi bilan bog'liq. Qachon yaxshi lambda (t) analitik usulda echilishi mumkin, ammo odatda, sezgi yechimning xarakterini anglashi va tenglama echuvchisi qiymatlar uchun sonli echim topishi uchun uni etarlicha yaxshi tasvirlash mumkin. Olingan lambda (t), boshqarish uchun eng maqbul qiymatni o'zgartirish, odatda, bilish shartli differentsial tenglama sifatida echilishi mumkin lambda (t). Shunga qaramay, kamdan-kam holatlarda, ayniqsa doimiy muammolarda, nazoratning yoki davlatning qiymatini aniq olish mumkin. Odatda, strategiya eng maqbul boshqaruvni tavsiflovchi chegaralar va mintaqalar uchun echim topadi va haqiqiy tanlov qiymatlarini o'z vaqtida ajratish uchun raqamli echimdan foydalanadi.