Matematika-informatika fakulteti amaliy matematika va informatika yo’nalishi

3.Optimal boshqaruv masalasining qo‘yilishi.
Oddiy differensial tenglamalar sistemasi bilan tavsiflangan optimal boshqaruv masalasining qo‘yilishi quyidagicha: berilgantayin [ta.U] oraliqda aniqlangan u> = (x(t),u(t))jarayonga bog‘liq bo‘lgan integral va terminal qo‘shiluvchilar bilan berilgan:
(3.1)

ko‘rinishdagi funksionalning minimumini topish talab etiladi.

Bunda,0< bolib, fikserlangan sonlardir.
I=[ ] belgilashni kiritamiz.x(t):I holatning absolyut uzluksiz vector funksiyasi,u(t): I boshqaruvning bolakli-uzluksiz vector funksiyasi bolib,ular
(3.2)
Boshlang’ich
(3.3)
Boshqaruvga chegara va
(3.4
Oxirgi shartlarini hamda
(3.5)
Dinamik chegarani qanoatlantiradi.
1 -ta’rif. (3.2) —(3.5)-shartlarni qanoatlantiruvchi x(t) — absolyut uzluksiz, u(t) — bo'lakli-uzluksiz vektor funksiyalardan iborat bo‘lgan uj = (x(t), u(t))) juftlik joiz jarayon deb ataladi. (3.1)—(3.5)-masalaning barcha joiz W jarayonlari to‘plamini ,bilan belgilaymiz va u bo‘sh emas deb faraz qilamiz. U holda optimal boshqaruv masalasi quyidagicha bo'ladi: joiz jarayon W topilsinki, unda (3.l)-funksional minimumga erishsin.
2 -ta ’rif. Agar (3.2)—(3.5)-masalada = ( (t), (t)) joiz jarayon uchun, e > 0 soni topilsaki, ||x(t) — (t)\\C{1) < shartni qanoatlantiruvchi x(t) va ixtiyoriy u(t) uchun, barcha joiz w = (x(t), u(t)) jarayonlarda:

tengsizlik bajarilsa, u holda = ( (t), (t)) lokal — optimal deyiladi.
(1.1), (1.5)-masalada optimallikning zaruriy shartini ta ’minlovchi teoremani birinchi bor L. S. Pontryagin isbotlagan. Optimal boshqaruvning har bir masalasiga ikkita skalyar funksiyani bog'lash mumkin — Pontryagin va Gamilton funksiyalari, ular quyidagicha aniqlanadi:

(3.1)—(3.5)-masala uchun, barcha standart shartlar bajarilgan deb faraz qilamiz, ya’ni

funksiyalar t bo'yicha o‘lchovli, x bo‘yicha uzluksiz differensiallanuvchi va u bo‘yicha uzluksiz, funksiya esa x° va x l bo‘yicha uzluksiz differensiallanuvchi, bu yerda x(to) = x°, x(ti) = x . Agar x(to) = x° bo‘lsa (3.1)—(3.5)-masala chap tomoni qo‘zg‘almas deb ataladi.
Agar .Xo = R n bo‘lsa (3.1)—(3.5) masala chap tomoni erkin deb ataladi. Xuddi shunga o'xshash, o‘ng tomoni uchun, ham kiritiladi: o‘ng tomon qo‘zg‘almas-a;(£i) = x 1, o‘ng tomon erkin to‘plamlar tenglik va engsizliklar sistemasi:

orqali berilgan bo'lishi ham mumkin, bu yerda glix), i =l , 2 , .. ., m ,l — l , 2 uzluksiz differensiallanuvchi funksiyalar.O‘ng tomoni erkin, chap tomoni qo‘zg‘almas masalada optimal boshqaruvni topish uchun, Lagranjning o‘zgarmas koeffitsiyentlar usulini qoikymiz. O‘ng tomoni erkin, chap tomoni qo‘zg‘almas masalada:
(3.6)
(3.7)
(3.8)
Chegaralar ostida
(3.9)
Funksionalni minimallashtirish kerek bo’ladi, bu erda x(t):I -absolyut uzluksiz funksiya,u(t): ):I - bo’lakli uzluksiz funksiya.
4.Izoxorik jarayon.
Izoxorik yoki izoxorik jarayon (boshqa yunoncha ἴsos - "teng" "joy" dan) doimiy hajmda sodir bo'ladigan termodinamik izoprosesdir. Gaz yoki suyuqlikda izoxorik jarayonni amalga oshirish uchun moddani doimiy hajmli idishda isitish yoki sovutish kifoya qiladi. Izoxorik jarayonda ideal gazning bosimi uning haroratiga toʻgʻridan-toʻgʻri proporsional boʻladi (qarang Charlz qonuni). Haqiqiy gazlarda Charlz qonuni taxminan bajariladi. Grafiklarda holat koordinatalari izoxoralar deb ataladigan chiziqlar bilan ifodalanadi. Ideal gaz uchun ular parametrlarni bog'laydigan barcha diagrammalarda to'g'ri chiziqlar.
Ko'pincha izoxorik jarayonning birinchi tadqiqotlari Guillaume Amonton bilan bog'liq. 1702 yilgi Parij xotiralarida u "havo termometri" deb ataladigan qurilma ichidagi gazning qattiq hajmdagi harakatini tasvirlab bergan. Undagi suyuqlik tankdagi gaz bosimi va atmosfera bosimi ta'sirida muvozanatda bo'ladi. Qizdirilganda, tankdagi bosim oshadi va suyuqlik chiqadigan trubaga majburlanadi. Harorat va bosim o'rtasidagi bog'liqlik sifatida o'rnatildi.

1801 yilda Jon Dalton o'zining ikkita inshosida eksperimentni nashr etdi, unda u doimiy bosimda o'rgangan barcha gazlar va bug'lar, agar dastlabki va oxirgi haroratlar bir xil bo'lsa, harorat o'zgarishi bilan teng ravishda kengayishini aniqladi. Ushbu qonun Gey-Lyusak qonuni deb nomlandi, chunki Gey-Lyusak tez orada mustaqil tajribalar o'tkazdi va turli gazlarning bir xil kengayishini tasdiqladi, bundan tashqari, Dalton bilan deyarli bir xil koeffitsient oldi . Keyinchalik, u o'z qonunini Boyl-Mariotte qonuni bilan birlashtirdi , bu boshqa narsalar qatori izoxorik jarayonni tasvirlashga imkon berdi.