Matematika va Informatika” bakalavriat ta’lim yo’nalishi 104-guruh talabasi Narzullayev Azamatjon Norbo’ta o’g’lining

V xossa: Agar a<c<b va f(x) funksiya [a,c] , [c,b] kesmalarda
integrallanuvchi bo‘lsa, unda u [a,b] kesmada ham integrallanuvchi va
(18)
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Isbot: Bu xossani qat’iy matematik isbotini keltirmasdan, uni integralning
geometrik mazmuniga asoslangan (2-rasmga qarang) talqinini keltirish bilan chegaralanamiz.

2-rasm

(18) tenglikning o‘ng tomonidagi birinchi integral y=f(x) funksiya grafigi orqali hosil qilingan aACc egri chiziqli trapetsiyaning S₁ yuzasini, ikkinchi integral cCBb egri chiziqli trapetsiyaning S₂ yuzasini ifodalaydi. (18) tenglikning chap tomondagi integral esa y=f(x) funksiya grafigi orqali hosil qilingan aABb egri chiziqli trapetsiyaning S yuzasini ifodalaydi. Bu yerda S=S₁+S₂ tenglik o‘rinli va uni integrallar orqali ifodalab, (18) tenglikni hosil etamiz.
Izoh: III xossani ifodalovchi (18) tenglik c<a va c>b holda ham o‘rinli bo‘ladi. Masalan, c>b holda a<b<c bo‘lgani uchun (18) tenglik yuqoridagi mulohazalar va (12) tenglikka asosan quyidagicha keltirib chiqariladi:

.
VI xossa: Har qanday [a,b] kesmada o‘zgarmas f(x)=1 funksiya integrallanuvchi va
(19)
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Isbot: Bu holda integral yig‘indida f(ξ_i)=1, Δx_i=x_i–x_i–1 (i=1,2,3,∙∙∙, n), x₀=a va x_n=b bo‘lgani uchun
Bu yerdan integral ta’rifi va limit xossasidan (19) tenglik kelib chiqadi:
.
Izoh: Integralning geometrik ma’nosiga ko‘ra (19) tenglikdagi aniq integral asosi [a,b] kesmadan iborat va balandligi f(x)=1 bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchak yuzasini ifodalaydi va bu yuza S=1∙(b–a)= b–a ekanligidan ham (19) tenglikka ishonch hosil etish mumkin.
VII xossa: Agar [a,b] kesmada (a<b) integrallanuvchi y=f(x) funksiyaning shu kesmadagi eng kichik va eng katta qiymatlari mos ravishda m va M bo‘lsa, unda aniq integral uchun
(20)
qo‘sh tengsizlik o‘rinli bo‘ladi.
Isbot: Shartga asosan [a,b] kesmada m≤f(x)≤M bo‘lgani uchun IV xossa va (19) tenglikdan hamda I xossadan foydalanib, quyidagilarni olamiz:

.
Bu xossaning geometrik ma’nosi shundan iboratki (3-rasmga qarang), [a,b] kesmada y=f(x) funksiya grafigi orqali hosil qilingan aABb egri chiziqli trapetsiyaning yuzasi asoslari b–a, balandliklari esa mos ravishda m va M bo‘lgan
aA₁B₁b va aA₂B₂b to‘g‘ri to‘rtburchaklar yuzalari orasida joylashgan bo‘ladi .

VIII xossa: Agar ‌|f(x)| funksiya [a,b] kesmada integrallanuvchi bo‘lsa, unda f(x) funksiya ham bu kesmada integrallanuvchi va quyidagi tengsizlik o‘rinli bo‘ladi:
(21)
Isbot: ‌ – |f(x)|≤ f(x)≤|f(x)| qo‘sh tengsizlikni hadlab integrallab, bu tasdiqqa quyidagicha erishamiz:
.
IX xossa(O‘rta qiymat haqidagi teorema): Agar f(x) funksiya [a,b] kesmada uzluksiz bo‘lsa, bu kesmada shunday ξ nuqta mavjudki, unda
(22)
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Isbot: Berilgan f(x) funksiya [a,b] kesmada uzluksiz bo‘lgani uchun, Veyershtrass teoremasiga asosan, u bu kesmada o‘zining eng kichik m va eng katta M qiymatlarini qabul etadi. Shu sababli bu funksiya uchun VII xossani ifodalovchi (20) qo‘sh tengsizlik o‘rinli va uni quyidagicha yozish mumkin:
.
Bu qo‘sh tengsizlik orasida turgan sonni μ deb belgilasak, unda kesmada uzluksiz funksiya xossasiga asosan, [a,b] kesmada shunday ξ nuqta mavjudki, unda f(ξ)=μ bo‘ladi. Bu yerdan, belgilashimizga asosan,

ekanligi kelib chiqadi.