Matematika va informatika” ta’lim yo’nalishi s0603-21 guruh talabasi

2-misol. Hisoblang: .
Yechilishi: Integralni hisoblashni yuqoridagi bosqichlar asosida, ya`ni (7) formulani qo`llash orqali bajaramiz:

3-misol. Integralni hisoblang:
Yechilishi: Aniq integralning 3- xossasiga asosan berilgan integralni ikki qismga ajratamiz va Nyuton –Leybnis formulasidan foydalanib, hisoblaymiz:

Mustaqil yechish uchun mashqlar.
№1. №7.
№2. №8.
№3. №9.
№4. №10.
№5. №11.
№6. №12.


O`rta qiymat haqidagi teorema
Teorema. Agar funksiya kesmada uzluksiz bo`lsa, u holda, shu kesmada shunday nuqta mavjud bo`ladiki, uning uchun
(1)
tenglik o`rinli bo`ladi.
Isboti: Faraz qilaylik, bo`lsin. U holda, funksiyaning berilgan kesmadagi eng katta qiymati va eng kichik qiymati bo`lsin, ya`ni
. (2)
da (2) tengsizlikni integrallaymiz:

Bundan, (3)
(3)ni ga hadma – had bo`lamiz:
. (4)
Berilgan funksiya da uzluksiz bo`lganligi uchun qo`yi va yuqori chegara oralig`idagi (ya`ni [ , ]) istalgan qiymatni qabul qiladi. U holda, da shunday nuqta mavjud bo`ladiki, bo`lishini ta`minlaydi. Bu esa (1) formuladan iborat. Teorema isbot bo`ldi.


Aniq integralni o`zgaruvchini almashtirish (o`rniga qo`yish) usuli bilan hisoblash
Aniqmas integralni o`zgaruvchini almashtirish usulida yechishdan ma`lumki, agar integrallash qoidalari, xossalari yoki formulalar yordamida integrallash qiyinlik tug`dirsa integral ostidagi funksiyaga yangi o`zgaruvchi kiritish lozim. Aniq integralni hisoblashda ham shu usul qo`llaniladi.
ni o`zgaruvchini almashtirish usulida hisoblash talab qilinsin. Yangi o`zgaruvchini kiritaylik. U holda, funksiya kesmada uzluksiz va differensiallanuvchi bo`lsin. Agarda o`zgaruvchi kesmada o`zgarganda o`zgaruvchi da o`zgarsa, ya`ni hamda murakkab funksiya kesmada uzluksiz va aniqlangan bo`lsa, quyidagi formula o`rinli bo`ladi:
(1)
(1) formulaga o`zgaruvchini almashtirish usulida integral formulasi deyiladi.
funksiya ning boshlang`ichi bo`lsin. U holda, funksiya ning boshlang`ichi bo`ladi. Shuning uchun

Demak, (1) formula hosil bo`ldi.
Yuqoridagilarni umumlashtirib, o`zgaruvchini almashtirish usulida integrallashni quyidagi ketma – ketlikda bajarish tavsiya qilinadi:

1. 
   Imkoni bo`lsa, integral ostida berilgan ifodani soddalashtirish.
   
2. 
   Yangi o`zgaruvchini kiritish ( ).
   
3. 
   Integralning yangi chegaralarini aniqlash.
   
4. 
   Hosil bo`lgan integralni hisoblash.
   

1.