Matematika va informatika” ta’lim yo’nalishi s0603-21 guruh talabasi

6. Aniq integralni mexanikaga tatbiqi. Jismni aniq integral yordamida hisoblash.

Biror F kuch ta’siri ostida M moddiy nuqta OS to’g’ri chiziq bo’yicha harakat qilsin, bunda kuchning yo’nalishi harakat yo’nalishi bilan bir xil bo’lsin. M nuqta S=a holatdan S=b holatga ko’chganda F kuchning bajargan ishni topilsin.

1) Agar F kuch o’zgarmas bo’lsa, u holda A ish F kuch bilan o’tilgan yo’l uzunligi ko’paytmasi bilan ifodalanadi:
A=F(b-a)
2) F kuch moddiy nuqtaning olgan o’rniga qarab uzluksiz o’zgaradi, ya’ni [a, b] kesmani uzunliklari
bo’lgan n ta ixtiyoriy bo’lakka bo’lamiz. Har bir [S_i-1, S_i] qismiy kesmada ixtiyoriy nuqta tanlab olib, F(S) kuchning yo’lda bajargan ishini ko’paytma bilan almashtiramiz. Oxirgi ifoda yetarlicha kichik bo’lganda F kuchning yo’lda bajargan ishning taqribiy qiymatini beradi.

Yig’indi F kuchning [a, b] kesmada bajargan ishning taqribiy ifodasi bo’ladi. Bu yig’indining dagi limiti F(S) kuchning S=a nuqtadan S=b nuqtagacha bo’lgan yo’lda bajargan ishini ifodalaydi:
(11)
Misol. Agar prujina 1 N kuch ostida 1 sm cho’zilishi ma’lum bo’lsa, uni 4 sm cho’zish uchun qancha ish bajarish kerak?
Yechish. Guk qonuniga ko’ra prujinani x m ga cho’zuvchi kuch F=kx;
Agar x=0,01 m va F=1 N ekanligini hisobga olsak, u holda k=F/x=1/0,01=100 kelib chiqadi.
Demak, F=100x. Bajarilgan ish ekanligini hisobgan olsak
(j)

2.2 Inersiya momenti
XOY tekislikda massalari bo’lgan moddiy nuqtalar sistemasi berilgan bo’lsin. Mexanikadan ma’lumki, moddiy nuqtalar sistemasining O nuqtada nisbatan inersiya momenti:
(12)
bunda
Faraz qilamiz, egri chiziq moddiy chiziqdan iborat bo’lib, u tenglama bilan berilgan bo’lsin va [a, b] kesmada uzluksiz funksiya bo’lsin, Egri chiziqning chiziqli zichligi gat eng bo’lsin. Bu chiziqni uzunliklari bo’lgan n ta bo’laklarga bo’lamiz, bunda ularning massalari bo’lsin. Yoyning har bir qismida absissasi va ordinatasi bo’lgan nuqtalar olamiz. Yoyning 0 nuqtaga nisbatan inersiya momenti:
(13)
Agar funksiya va uning hosilasi uzluksiz bo’lsa, u holda da (13) yig’indi limitga ega va bu limit moddiy chiziqning inersiya momentini ifodalaydi:
(14)
1. Uzunligi l bo’lgan ingichka bir jinsli tayoqchaning (sterjenning) oxirgi uchiga nisbatan inersiya momenti.
Tayoqchani OX o’q kesmasi bilan ustma-ust joylashtiramiz.

0 x x
8-rasm

Bu holda

(14) formula qo’yidagi ko’rinishni oladi:
(15)
Agar tayoqchaning massasi M berilgan bo’lsa, u holda va (15) formula qo’yidagi ko’rinishda bo’ladi:
(16)
2. Radiusi r bo’lgan aylananing markaziga nisbatan inersiya momenti.
Aylananing barcha nuqtalari uning markazidan bir xil masofada bo’lgan va massasi bo’lgani uchun, aylananing inersiya momenti qo’yidagicha bo’ladi:
(17)
3. Radiusi R bo’lgan bir jinsli doiraning markaziga nisbatan inersiya momenti.

Doirani n halqalarga ajratamiz.S-doira yuzi birligining massasi bo’lsin.Bitta halqani olib qaraymiz.

y

R x

9-rasm
Bu halqaning ichki radiusi r_i tashqi radiusi bo’lsin. Bu halqaning massasi ga teng bo’ladi. Bu massaning markazga nisbatan inersiya momenti (17) formulaga muvofiq taqriban qo’yidagiga teng bo’ladi:

Butun doiraning inersiya momenti:

da limitga o’tib, doira yuzining markazga nisbatan inersiya momentini hosil qilamiz:
Agar doiraning massasi M berilgan bo’lsa, u holda sirt zichligi qo’yidagiga teng bo’ladi: Bu qiymatni (18) ga qo’ysak:

XULOSA
Mamlakatimizda sog’lom va barkamol avlodni voyaga yetkazishning eng muhim sharti bo’lgan ta’lim-tarbiya masalasi haqida so’z borganda, biz ko’pincha sohaning moddiy texnik bazasini mustahkamlash, yangi maktablar, litsey va kollejlar, oliy o’quv yurtlari barpo etish, ularni zamonaviy jihozlash haqida ko’proq gapiramiz. Holbuki, ayni shu ishlarimiz bilan birga, ta’limning mazmuni, sifati ham tubdan o’zgarmoqda.

Eng muhimi, zamonaviy bilim va tafakkurga, sog’lom dunyoqarashga ega, rivojlangan davlatlardagi tengdoshlari bilan bellashishga tayyor bo’lgan, ko’zi yonib turadigan navqiron avlodimizkatta ishonch bilan hayotga dadil kirib kelayotgani barchamizni quvontiradi. Barchamiz bugun chuqur anglab oldik – faqatgina zamonaviy asosda ta’lim tarbiya olgan, jahonning manaman degan mamlakatlaridagi tengdoshlari bilan bellasha oladigan, jismoniy va ma’naviy jihatdan barkamol yoshlar biz boshlagan ishlarni munosib davom ettirish va yangi bosqichga ko’tarishga bog’liq bo’ladi.
Ushbu kurs ishini yozish davomida men aniq integral tushunchasi va inersiya moment tushunchalarini o’rgandim. Aniq integralning geometriyaga tadbiqlarini tushunib yetdim. Hususan:

1. 
   Yuzalarni hisoblashga tadbiqi
   
2. 
   Yoy uzunligini hisoblashga tadbiqi
   
3. 
   Aylanish jism hajmini hisoblash
   
4. 
   Aylanish jismning sirtining yuzasini hisoblash
   
5. 
   Inersiya momenti
   

Shu kabi geometriya va mexanikaga tadbiqlarini o’rgandim. Aniq integralning tadbiqlari mavzusuda yozilgan ushbu kurs ishidan umumiy o’rta ta’lim maktablarida darsda va darsdan tashqari matematika mashg’ulotlarida foydalanish uchun uslubiy qo’llanma sifatida foydalanish mumkin deb xisoblayman.