Materiallar

iga  teng  boMadi.  OAB  uchburchagining  yuzi  esa  tebranish  chogMdagi  siste­
maning  potensial  energiyasi  P  ga  tengdir.  Quyidagi  nisbat:
energiyaning yutilish  koeffitsient  deb  ataladi.
Cheksiz qisqa vaqt  dt mobaynida energiyaning yutilishi  dP,  T  vaqt  ichida
esa
olgan  keyin  sistemani  dastlabki  ho-
(12.28)
boMadi.  Bundan
n+l
kelib  chiqadi.
ekanligini  hisobga  olsak,
S   va  ^   tajriba  yoMi  bilan  aniqlanadigan  miqdorlar.
302

Misol.  12.9-rasm,  a da  ko'rsatilgan  balkaning  o'rtasiga  o'rnatilgan 
dvigatelning  vazni  Q=  4 kN.  Uzunligi 3  m  bo 'Igan po ‘lat  balka  12-nomerli 
go 'shtavrdan yasalgan.  Balkaning xususiy og ‘irligini hisobga olmay,  tebran­
ish  takrorligi  va  davri  aniqlansin.
Yechish.  Dvigatel  ogMrligidan  balka  o ‘rtasida  hosil  boMadigan  solqilik
л , - 2 '’
4 8 Е /
Tebranish  takrorligi
co =
Tebranish  davri
9.81 -48-2,1 -10  -350-10'
4 -3 J 
2 л  
2-3,14
=56,6  с
T =
со 
56,6 
Bir  minutdagi  tebranishlar  soni
= 0,11c.
/7 = —  = 545.5 
T
12.6.  Erkinlik  darajasi  bitta  bo‘lgan  sistem alarning  m ajburiy 
tebranishlari  (qarshilik  kuchlari  hisobga  olinm agan  hoi)
Oldingi  paragrafda  sistemaning  erkin  tebranishlarini  ko‘rib  o‘tgan  edik, 
unda butun tebranish jarayonida  sistemaga tashqi  (uyg‘otuvchi)  kuchlar ta’siri 
etmasligi  qayd  etilgandi  (tebranish  boshidagi  ta’siri  bundan  mustasno). 
Mazkur paragrafda erkinlik darajasi  birga teng 
boMgan  sistemaiarga  vaqtning  o'tishi  bilan 
o'zgarib  boruvchi  kuchlar  ta’sirini  ko‘rib 
chiqamiz.
Bunday  kuchlar  uyg'otuvchi kuchlar,  ular 
ta’siridagi  tebranishlar  esa  majburiy  tebran­
ishlar  deb  ataladi.
12.10-rasmda  majburiy  tebranishlarning 
ikkita  xili  tasvirlangan.  Ularning  birida 
(12.10-rasm,  a)  m  massaning  tebranishi 
uyg‘otuvchi  tashqi  kuch  P  (t)  ta’sirida,  ikkin-
chisida  esa  (12.10-rasm,  b)  tayanchning 
12.10-rasm. 
Bir  massali  siste- 
qo‘zg‘alishi  natijasida  hosil  boMadi.  Majburiy  maning  majburiy  tebranishlari.
P(t) 
I -W —
»

tebranish  m asalalarida  tebranishning  amplitudasini  aniqlash  asosiy  vazifa 
hisoblanadi,  chunki  tebranayotgan  inshootda  hosil  boMadigan  kuchlanishlar 
ana  shu  amplitudalarga  bogMiqdir.
Majburiy  tebranishlarning  umumiy  tenglamasi  va  uning  yechimi
Erkinlik  darajasi  birga  teng  boMgan  sistemaga  P  =  P  (t)  uyg‘otuvchi 
kuch  ta ’siri  etayapti  deb  faraz  qilaylik  (
1 2
.
1 1
-rasm).
Vaqtning t  lahzasida  massaga ta ’sir  etuvchi  kuchlar  shaklda  k o ‘rsatiIgan.
Bu  hoi  uchun  harakat  tenglamasi 
quyidagicha  boMadi:
~c(y + y sl) + 
m g  
+ Pi t ) = 
m y  .
с
Agar  m 
g  
=cyst  v a 
со  -
 —
m
ekanlgini  hisobga  olsak,  majburiy 
tebranishning  asosiy  tenglamasi
■
» 
Pit) 
y  
+  
CO':V 
= —
(12. 30) 
m
ko‘rinishni  oladi.
OgMrlik  mg  va  statik  reaksiya 
cys,  e ’tiborga  olinmagan  taqdirda  ham,  y a’ni  kuch  va  ko‘chishlar  sistema­
ning  statik  muvozanat  holatidan  boshlab  hisoblanganida  ham  xuddi  ana  shu 
natijaga  kelgan  boMur  edik.
Bir  jinsli  boMmagan  (12.30)  tenglamaning  yechimini  ikki: 1)  erkin  teb­
ranish  tenglamasining  (bir  jinsli  tenglama)  integrali  va 
2
)  berilgan  tengla- 
ma  (12.30)  ning  biror  xususiy  integrali  yigMndisi  ko‘rinishida  izlash  zarur. 
Har bir konkret  hoi  uchun  tenglamaning  o ‘ng tomoniga  mos  xususiy  yechim 
tanlash  o ‘rniga, 
ixtiyoriy  d o im iyla rn i  variatsiyalash 
usulidan  foydalanish 
maqsadga  muvofiqdir.  Bu  usulning  afzalligi  shundan  iboratki,  shu  yoM  bi­
lan  uyg‘otuvchi  kuch  istalgan  qonun  bo‘yicha  o‘zgarganda,  tegishli  yechimga 
ega  boMamiz.
Bu  usulga  ko‘ra  (12.30)  tenglamaning  xususiy  yechimi
у  = 
С, 
sin&tf + C, 
coscot. 
(12,31)
ko‘rinishda  izlanadi.  Biroq  bu  holda  C,  va  C2ning  qiymatlari  doimiy  emas, 
balki  o ‘zgaruvchi  deb  qaralishi  kerak.  Shunday  qilib, 
у 
(t)  funksiyasini  aniq­
lash  masalasi  C,  (t)  va  C
2
 (t)  funksiyalarini  aniqlash  masalasi  bilan  almash- 
tiriladi.  Ixtiyorim izda  faqat  birgina  (12,30)  tenglama  boMganligi  sababli
C(Y+YS1)

С, (t)  va  C2 (t)  funksiyalarini  yana  bir  ixtiyoriy  tenglama  bilan  bogMaymiz. 
Buning  uchun  (12.31)  dan  vaqt  bo‘yicha  hosila  olamiz.
ў  -  Cxco cos cot —
 C2co sin cot + C, sin cot + C2 cos cot 
hamda  C,  (t)  va  C2 (t)  ni  quydagi  ifoda  bilan  bogMaymiz:
C \ S i x \ C D t   +   C 2 c o s a > t
 
= 0. 
(12.32)
u  holda  yuqoridagi  tezlikni  aniqlash  tenglamasi  birmuncha  soddalashadi:
ў  = C,cocos cot + C2cot.
Tezlanishni  topamiz:
у  = -C^co1 sin cot -  C^co1 cos cot + Cxco cos cot -  C2cosin cot. 
(12.33)
(12.31)  va  (12.33)  ifodalarni  (12.30)  tenglamaga  qo'yib,
C, coscot + С2s\n cot = —— P{t) 
(12 34)
mco
ni  hosil  qiiamiz.
(12.32)  va  (12.33)  tenglamalardan  quyidagi  hosilalami  aniqiaymiz:
C,  = —!—/»(/) cos cot-,  C,  = — — P(t)smcot. 
mco 
' 
mco
Bularni  integrallab:
1
 
1
C,  = ----   f  P{T)coscordr + B{
mco  J
о
j  '
C2  = -----  f  P{
t
) sin со rd r + B2
(12.35)
ni topamiz.  Bu yerda B,  va B2boshlangMch shartlarga bogMiq  boMgan  doimiy 
sonlardir.
Integrallash  jarayonida  o ‘zgarib  boruvchi  vaqtni  0  dan  t  gacha,  inte­
grating  o‘zgaTias  deb  qaraluvchi,  yuqori  chegarasi  t  dan  farq  qilish  uchun 
г deb  belgilash  qabul  qilingan.
(12.35)  ifodani  (12.31)  tenglamaga  qo‘yib,  berilgan  (12.30)  tenglama­
ning  umumiy  integraliga  ega  boMamiz:
1
mco
sintyrj  P (
t
) cos cord т + coscot j   P(T)smcoTdT 
о 
о
+Bt sin cot + B2 cos cot. 
sin cot va  cos«y/ni  integral  ostiga kiritib  ixchamlashtirsak,  masalaning umu­
miy  yechimi  kelib  chiqadi:

Bundan  hosila  olib,  tezlik  tenglamasiga  ega  boMamiz:
J  1
ў  = Btcocos cot -  B2cosin cot + — 
j  
P 
( r )  
cos co(t
- r ) d v  
(12.37)
m 0
B, 
va  B2  doimiylarning  qiymati  harakat  boshidagi  shartlarga  bog‘liq. 
Agar  harakat  boshida,  ya’ni t=0  boMganda y=y0 ,  ў  = и0  ,bo‘lsa,  (12.36)  va
u0
(12.37)  tenglamalardan  B{ = —   va  B-,  = y 0  kelib  chiqadi.
со
U  holda  yuqoridagi  yechim  quyidagi  ko‘rinishni  oladi:
и 
1  1
,y = .y0cosfltf— - cosincot +----- I  P(r)sin
- T ) d z
со 
rnco0  0J
Bu  yerdagi  dastlabki  ikki  had  boshlangMch  ko'chish y0  va  boshlangMch  tez­
lik  о о ta’sirida vujudga kelgan erkin tebranishlami, keyingi  hadlar esa uyg‘otuvchi 
kuchlar  ta’sirida  vujudga  kelgan  majburiy  tebranishlami  ifodalaydi.
BoshlangMch  shartlar  y0  va  t>0nol  boMsa,  quyidagi  asosiy  formula  ke­
lib  chiqadi:
j  I
y  
= ------
f 
P ( r )
sin
c o ( t - r ) d T  
(12.38)
mco  '
Zarbiy  kuch  ta’siridagi  majburiy  tebranishlar. 
Tinch  holatdagi  sis- 
temaga  vaqtning  т  lahzasida  zarbiy  kuch  berildi  deylik.  Bu  lahzada  siste- 
mada  ko‘chish  boMmaydi:
У  ( r ) ^ 0 ’
biroq  sistemada,  harakat  miqdori  qonuniga  binoan,  zarbiy  kuch  ta’sirida
u ( r )  = -  
m
tezlik  hosil  boMadi.  Vujudga  kelgan  tebranishni  erkin  tebranish  deb  qarash 
mumkin.  U  holda ko‘chish  va tezlik  uchun quyidagi  ifodalarga ega  boMamiz:
у  -  A sin(co t + Л) ; 
u = y  = Aco cos  (со t + Л ).

Ifodalaming  chap  tomoniga  boshlang‘ich  shartlami,  o‘ng  tomonidagi 
t  harfl  o‘miga  t  ni  qo‘ysak,
0 = As\n(a> t + Я)
S
— = Acocos  (Ш/ + А) 
m
kelib  chiqadi.  Bu  tenglamalardan
„ 
S  
.
A = ----   va 
Я = -cor
mco
topiladi.  Bulami  o‘z  o‘rniga  qo'ysak,  zarbiy  kuch  ta’sir  etgan  hoi  uchun 
harakat  qonuni  kelib  chiqadi:
Bu  holni  uyg‘otuvchi  kuch  P(
t
)  ta’siri  etgan  hoi  bilan  bogMaymiz.  Bu- 
ning  uchun  uyg‘otuvchi  cheksiz  kichik  zarblar  P(r)^/rning  ketma-ketligi 
deb  faraz  etamiz  (12.12-rasm).
Bitta  zarbiy  kuch  ta’sirida  vaqtning  t> r   lahzasida  (12.39)  formulaga 
asosan
ko‘chish  hosil  boMadi.
Vaqtning  0+t  oralig‘ida zarbiy  kuchlaming  ketma-ket ta’siri  ostida hosil 
bo‘ladigan  ko‘chishni  aniqlash  uchun  yuqoridagi  ifodani  integrallash  zarur. 
Bu  esa  (12.38)  formulaga  olib  keladi.
Garmonik kuch  ta’siri.  Rezonans.  Sanoat binolarida  ba’zan  muvozanat- 
lashmagan  aylanuvchi  qismi  boMgan  mashinalar  o‘matiladi  (12.13-rasm).
P
P(
t
)
c
!
t
  .
—— — sin 
a>{t-r)
mco
P,
4
4
T
dx
12.12-rasm.  Cheksiz 
kichik 
zarbalarning  ketma-ketligi
12.13-rasm.  Rotor 
о ‘rnatilgan  balka.

Muvozanatlashmagan  massaning  o ‘q  atrofida  aylanishidan  hosil  boMgan 
markazdan  qochma  kuch  P  ta’sirida  balka  tebranadi.  Bu  kuchning  vertikal 
tashkil  etuvchisi
P   =   P Q
 sin 
9   t
(12.40)
boMadi.  Bu  yerda  9  -   rotor  aylanishining  burchak  tezligi.  Form uladan 
ko‘rinib  turibdiki,  uyg‘otuvchi  kuchning  balkaga  ta ’siri  garmonik  qonun 
asosida  o ‘zgaradi.
Bunday  kuch  ta ’sirida  vujudga  keladigan  tebranish  jarayonini  matema- 
tik  ko‘rinishda  ifodalash  uchun  (12.38)  formuladan  foydalanamiz:
kelib  chiqadi.  Bu  yerda  _қ, -   statik  kuch  Po  ta'sirida  hosil  boMgan  solqilik.
(12.42) 
formulaning  tahlili,  boshlangMch  shartlar  nol  boMganda,  siste- 
mada  ikki  qismdan  iborat  murakkab  tebranish  vujudga  kelishini  koMsatadi: 
qavs  ichidagi  birinchi  had  uyg‘otuvchi  kuch  takrorligi  bo'yicha  boMadigan 
tebranishni,  ikkinchi  had  esa  xususiy  tebranish  takrorligi  w  bilan  boMadigan 
tebranishni  ifodalaydi.  Shunga  ko'ra  birinchisi  -   majburiy,  ikkinchisi  -   er­
kin  tebranish  deb  ataladi.
Real  konstruksiyalarda  noelastik  qarshilik  kuchlari  ta’sirida  erkin  tebra­
nishlar  vaqt  o ‘tishi  bilan  so‘nib  boradi;  majburiy  tebranishlar  esa  avvalgi 
im plituda  bilan  davom  etaveradi.
Vaqt  oMishi  bilan  erkin  tebranishlarning  so‘nib  borishi  (b)  hamda  ikki 
xil  tebranishning  qo'shilish  jarayoni  (a)  12.14-rasmda  tasvirlangan.
,„u/ 0
<й
* 0
  hoi  uchun  integralning  yechimi
(12.41)
boMadi.
7 
с 
r 0
Bu  formulaga 
o> 
= —  va 
y s, 
- —   belgilash  kiritsak, 
m 
с
У 
& 
y  = — iLT - 
s i n
6 t ----
s i n a » /
, 
0 '
  V 
®
(12.42)

Shakldan  ko‘rinib  turibdiki,  в>  со  yoki  Q  bo‘lishidan  qat’iy  nazar, 
erkin  tebranishlar  jarayonning  boshidayoq  so‘nib  qoladi.  Shuning  uchun 
yechimning  doimiy  -   so‘nmaydigan  qismini  tahlil  qilish  bilan  chegaralanamiz:
v = — ^Ц-sin 6t
. - 4
co~
(12.43)
12.14-rasm.  Ikki  xil  tebranishning  q o 'shilishi  va  erkin  tebranishning  s o ‘nishi
Binobarin,  majburiy  tebranishlar  uyg‘otuvchi  kuch  chastotasi  bilan  tebra- 
nadi  va  bu  kuch  go‘yo  sistema  harakatining  «o‘z  amriga  bo'ysundirgandek» 
ko‘rinadi.  Majburiy  tebranish  amplitudasi  (dinamik  solqilik)
A =
Y,
CO"
(12.43)
uyg‘otuvchi  kuch  P0  ning  statik  ta’siridan  hosil  boMgan  solqilik  usl  dan  farq 
qiladi.  Uyg'otuvchi  kuch  ta’sirining  dinamik  effekti  dinamik koeffitsient deb 
ataluvchi  quyiuagi  nisbatdan  aniqlanadi:
A
M = —  = 
У,,
1
1 -
e 2
CO
(12.44)
в
Dinamik  koeffitsient takrorliklar nisbati  —  ga bogMiq  miqdordir.  12.14’-
co
в
rasmda  M  bilan  —  orasidagi  bogManish  graflk  ko‘rinishda  tasvirlangan.
CO

Q
12.14'-  rasm.  ц   bilan  —  orasidagi 
bog'lanish
Uyg‘otuvchi 
kuch 
takrorligi  Q  xususiy  tebran­
ish  takrorligi   
kichik  boMsa, 
—> 1,  di­
namik  solqilik  A  statik  sol­
qilik  yst  ga  yaqinlashadi. 
0  chegarada  в   ning 
o ‘sishi  bilan  dinamik  koef­
fitsient  M  ning  qiymati 
o ‘zgarib  boradi;  bu  hoi  te­
branish  amplitudasi  A  ning 
o ‘sishini  bildiradi.  Agar 
в>  со  bo‘lsa,  (2.44)  formu­
laga  binoan  A<0  boMadi;  bu 
esa  tebranish  amplitudasi 
uyg‘otuvchi  kuchga  qarama-qarshi  yo‘nalganligini  bildiradi.
Uyg‘otuvchi  kuch  takrorligi  bilan  xususiy  tebranish  takrorligi  teng
в
boMgan  hoi  ( в   =  со)  rezonans  deb  ataladi.  Bunda  ~  = 1  boMib,  majburiy
tebranish  amplitudasi  cheksizlikka  intiladi.  Qarshilik  ko‘rsatuvchi  kuchlar 
hisobga  olinmaganligi  tufayli  shunday  xulosaga  kelindi.  Biroq  real 
konstruksiyalarda  qarshilik  ko‘rsatuvchi  kuchlaming  mavjudligi  amplituda- 
ning  chekli  boMishiga  olib  keladi;  amplituda  chekli,  ayni  bir  vaqtda  katta 
qiymatga  ega  boMadi.  Shuning  uchun  rezonans  holati  inshoot  uchun  xavfli 
sanaladi.
Osma  ko'prik  singari  ba’zi  real  inshootlarda  energiyaning  sochilishi 
(qarshilik  ko‘rsatuvchi  kuchlar) juda  kichik  boMadi.  Bunday  hollarda  uncha 
katta  boMmagan  uyg‘otuvchi  kuch  inshootda  xavfli  rezonans  tebranishlarini 
uyg‘otishi  mumkin.  Masalan,  shaxdam  qadam  tashlab  kelayotgan  piyoda 
askarlar  ko‘prikka  yetganda  qadamlarini  o‘zgartirib,  tartibsiz  yura  boshlay- 
dilar.  Chunki  qadam  zarbi  ko‘prikning  xususiy  tebranish  takrorligi  bilan  bir 
xil  boMib  qolsa,  ko‘prik  rezonans  tebranishlariga  uchrab,  buzilishi  mumkin. 
Tarixda  bunday  hollar  uchrab  turadi.  1831-yili  Manchesterda  (Angliya)  Ir- 
vel  daryosiga  qurilgan  osma  ko‘prik  60  kishining  qadami  zarbidan  buzilib 
tushgan.  1868-yilda  Chatamada  Britaniya  dengiz  piyoda  askarlari 
oMayotganda  ko‘prik  bosib  qolgan.  1850-yilda  Anjerdagi  osma  ko‘prikda 
katta  fojea  ro‘y  bergan;  500  kishidan  iborat  fransuz  piyoda  askarlari  batalo- 
ni  oMayotganda  ko‘prik  buzilib,  226  kishi  halok  boMgan.

Rezonans tebranishlarini  so‘ndirishning ikki  xil yo‘li  bon  biri  inshootning 
xususiy  tebranish  takrorligini  uyg‘otuvchi  kuch  takrorligidan  farqli  qilib 
tanlash;  ikkinchisi,  inshootda  dempfer  (so‘ndirgich)lami  ko‘paytirish.
M ajburiy  tebranishlarga  qarshilik  kuchlarining  ta’siri
Qarshilik  kuchlarining erkin  tebranishlarga sezilarli  darajada ta’sir etishi- 
ni  oldingi  sahifalarda  ko‘rib  o‘tgan  edik.  Mazkur sarlavhada  qarshilik  kuch­
lari  majburiy  tebranishlarga  qay  darajada  ta’sir  etishini  ko‘rib  o ‘tamiz.
Awal  harakat  differensial  tenglamasining umumiy yechimi  bilan  tanishib 
chiqamiz,  so‘ngra  sistemaga  garmonik  kuch  ta’sirini  batafsil  ko‘rib  oMamiz.
Qarshilik  kuchlari  e’tiborga  olinsa,  majburiy tebranishlaming  asosiy teng­
lamasi  quyidagi  ko‘rinishda  yoziladi:
Bu  tenglamada  so‘nuvchi  erkin  tebranishlar  tenglamasi  (12.14)dan  ba- 
robarning  o‘ng  tomoni  bilan,  qarshilik  hisobga  olinmagan  majburiy  tebra­
nishlar  tenglamasi  (12.30)dan  chap  tomondagi  ikkinchi  had  bilan  farq  qila­
di.  Sistema  tebranishiga  qarshilik  kuchlarining  ta’siri  ana  shu  ikkinchi  had 
orqali  hisobga  olinadi.
Oldingi  paragrafdagi  singari  uyg‘otuvchi  kuch  P(t)  ni  cheksiz  kichik 
zarblar  P( г )d г ketma-ketligi  deb  qabul  qilsak,  u  holda  yuqoridagi  diffe­
rensial  tenglamaning  umumiy  yechimi  quyidagi  ko‘rinishni  oladi:
Bu  formula  P(f)  har  qanday  qonun  bo‘yicha  o‘zgarganda  o‘z  kuchini 
saqlaydi;  a   =u  bo‘lganda  (12.38)  formula  kelib  chiqadi.  (12.46)  formulani 
uyg‘otuvchi  tashqi  kuchning garmonik qonun  P(/)=P0sin  0 x  bo‘yicha ta’siri 
etuvchi  holga  tatbiq  etamiz.
Bunday  hoi  uchun  differensial  tenglama
ko‘rinishga  ega boMadi.  Ma’lumki,  bunday tenglamaning  integrali  ikki  qism- 
dan  iborat  boMadi:  1)  bir jinsli  tenglamaning  integrali;  2)  umumiy  tengla­
maning  xususiy  integrali.
y+ 2 a  y+ со2у  -  —-  
m
(12.45.)
I 
I 
p  ^ 
-
y { 0  = — —,----- [^(r>"e,,_r)sin  4 c c r - a z { t- T )   dr. 
(12.46)
m((0--a-)l
 
L 
J
(12.47)
m

Bir jinsli  tenglamaning  yechimini  ilgari  ko‘rib  o‘tgan  edik.  Bu  tengla­
ma  so‘nuvchi  erkin  tenbranishlarni  ifodalashini  va  erkin  tebranishlar  jara- 
yonining  boshidayoq  so‘nib  qolishini  bilamiz.  Shunga  ko‘ra,  majburiy  te- 
branishlaming  statsionar  qismini  ifoda  etuvchi  tenglamaning  xususiy  yechi­
mi  bilan  cheklanamiz:
y  = a s\n 9 1  + bcos91  
(12.48)
Shuni  nazarda  tutish  kerakki,  a  va  b  ning  qiymatlari  tegishlicha  tanlan- 
gan  taqdirdagina  (12.48)  ifoda  (12.47)  tenglamaning  yechimi  bo‘la  oladi. 
Buning  uchun  formuladan  ikki  marta  hosila  olib:
ў  = a 9 c o s 9 1 - b 9 s m 9 1 ; 
у  = - a92 sin 9 1 -  b92 cos 9 1 ;
(2.47)ga  qo'yamiz:
- aO2 sin 9 1 -  Ьв2 cos 9 1 + 2a9a cos 9 1 -  2b 9 a sin 9 1 + aor sin 9 1 +
+bar cos 9 t = —  sin0f 
m
yoki
- a 9 2 -  2b9a + 9co~— ^ 
m j
sin 9 t + [ -b 9 2  + 2a9a + bco2} cos 9 t = 0
Qavs  ichidagi  hadlar  alohida  olinganda  nolga  teng  bo‘Isagina  hosil 
boMgan  tenglama  t  ning  har  qanday  qiymatida  qanoatlantiriladi.  Bu  esa  o‘z 
navbatida  quyidagi  ikki  tenglamaga  olib  keladi:
а(б)2 - 9 2)-2 Ь 9
сс
 = 
v 
m
bu  yerdan
b{co2 - 9 2} + 2acoa = 0;
Ро(а>2- е г) 
( а 2 - 9 2у   + 9 2a 2
a
h -
2P09a

a  va  b  doimiy  sonlarning  mana  shu  qiymatlarida  (12.48)  ifoda  (12.47) 
ning  yechimi  hisoblanadi.
a  va  b  ni  boshqa  o‘zgarmovchilar  A  va  у  bilan  almashtirsak,  (12.48) 
yechim  yanada  ixchamlashadi:
a = A co sy  I
b = - A s m y )  
( 12‘5°)
Buni  (12.48)  ga  qo‘yamiz:
у  = A sin 9 tco sy -  A sin y co s9 t = Asin(9t - y ) .