Materiallar
Ekstremal masalalarni yechish usuli
Download 78.98 Kb. Pdf ko'rish
|
|
14.4. Ekstremal masalalarni yechish usuli B a’zi masalalar matematikaning ekstremal funksiyalar turkum iga kirib, ularning yechimi klassik yoMlar bilan hal etiladi. Eng sodda optimallashtirish usulini ko‘rib chiqaylik. Mezonning matematik ifodasi ba’zi bir talablarga mos boMsa, ulami hosila orqali osongina topiladi. Agarda mezon Y ( X ) uzluksiz funksiya boMib, differensiallash xususiy- atiga ega boMsa, bu m ezonning ekstremal (max, m in) yechim i boMadi. Buning uchun shu funksiyadan o ‘zgaruvchilar bo‘yicha hosila olib, ^ = 0 d X nolga tenglash asosida ekstremal yechim X * topiladi. Agarda mezon funk- siyaning ikkinchi hosilasi dY л -777 = 0 boMsa, unda mezon Ymax(X * ) ( l A maksimum qiymatiga, ——< 0 bo‘lsa, unda mezon У . (Jf*), minimum dX qiymatiga ega boMadi. Misol. Masala mezoni quyidagi ko‘rinishga ega Y = X 2 + ( X - 1)2 masaladagi noma’lum X ning cheklovi AT)0 deb berilgan, u holda birinchi hosila ^ —- 2 X + 2 (X -1 ) = 0 boMadi, bu yerdan X=\I2 natijaga ega dX boMamiz. Ikkinchi hosila esa d 2Y fLi_ = 2 + 2 = 4 > 0 boMadi. dX~ Hosila yordamida topilgan X=M2 qiymat Y ( X ) funksiyaning eng kichik miqdorini belgilaydi. Biz yuqorida aytganimizdek, optimal masalaning aksariyat chegara sharti matematik model orqali ifodalanadi. Bunday hollarda hosila olish usulini tushunish oson boMishi uchun misol keltiramiz. Masalaning matematik modeli: Y ( X) = X lX 2 + X 2X 3 min, cheklov shartlari X, + X 1 - 2 = 0, X 2 + X 3 - 2 = 0. ko'rinishga ega. Bu holda Lagranj usulini qoMIab chegara shartlarini funksi- yaga qo‘shib yozamiz, u holda Y ( X) = X tX 2 + X 2X , + 1 1(X, + X 2{ - 2) +1 \ ( X2 + X 3 - 2); har bir noma’lum X i bo'yicha hosila olib nolga tenglash asosida: X , +11 = 0, + 12 = 0 Х х+ Х ъ + 11 + 12 = 0 + A", - 2 = 0 X 2 + X 3 - 2 = 0 tengliklarini olamiz. Agarda shu tenglamalarda 11 = ~ X x, 12 = - X 2 boMishini hisobga olsak, X , + X : - 2 X 3 =0 X , + X 2 - 2 = 0 X 2 + X 3- 2 = 0 tenglamalar yechimi X, = X 2 = X 3 =1 boMadi va funksiyaning eng kichik • ^ 2у n miqdori Ymm( X) = 2 ekanligini ko‘ramiz, chunki Aniqlangan optimal kiymat cheklov shartlarini qoniqtirsa, bu biz qidir- gan optimal yechim boMadi. 14.5. K onstruksiyalam i optimal loyihalash Hozirgi kunda optimallashtirish fani xalq xo‘jaligining deyarli hamma sohalarida, jumladan, konstruksiyalami hisoblash va loyihalashda keng qoMlanilib kelinmoqda. Konstruksiyalami optimallashtirishda sistemaviy yondashilib, konstruk- siyalaming murakkabligiga qarab uni maMum ketma-ketlikka keltiriladi, ya’ni ulami optimallik va chidamlilik masalalarini hal etishda boMaklarga boMib, quyidagi ierarxik tizimga bogManadi: Murakkab konstruksiyaning global optimal yechimini topish 14.3-rasmda ko‘rsatilganidek, ierarxiya ketma-ketligida, bosqichma-bosqich birinchi blok- dan boshlab olib boriladi. Har bir blokda optimallashtirish parametrlarini belgi lash katta ahamiyatga ega. Masalan, 1-blokda temir-beton konstruksiyasi qorishmasi uchun «suv-sement» nisbatining optimal yechimini topish, 2-blokda kesim yuzasi, uning shakli va geometrik tavsiflari (R - doira, b,h - to‘g‘ri to‘rtburchak, b,h,d - murakkab kesim - tavr) optimallashtiriladi. 3-blokda sterjen uzunligi bo‘ylab kesim parametrlari (bx, hx, dx) o‘zgarishining optimal qiymati topiladi. 4-blok statik noaniq masalalarga doir boMib, bunda elementlar orasidagi bikrlik munosabatlari £ = J / Y - optimallashtiriladi. Agar konstruk- siyada n-ta element bo‘lsa, n-1 optimallashtirish parametri topiladi. Murakkab konstruksiyalami optimallashtirish ana shu ketma-ketlikda olib borilib, eng sodda konstruksiya qismidan boshlab ketma-ket keyingi blok- larga o‘tib boriladi. Darslikda ba’zi bloklarga doir optimallashtirish masalalari keltirilgan. 14.5.1. Egiluvchi sterjenning maqbul (optimal) parametrlarini hisoblash (2-blok) Egiluvchi balka turli materiallardan ishlanishi mumkin. Bizyog‘och g‘o‘ladan to'rt burchak shaklli kesimga ega boMgan to‘sin chiqarmoqchimiz, deylik. 1-masala. Doiraviy kesimli daraxtdan to ‘rtburchak shaklida shunday о ‘Ichamli (balandligi va eni) to 'sin qirqib olinsinki, uning egilishdagi y u k ко ‘tarish qobiliyali eng yuqori, ya ’ni max bo 'Isin. Yuk ко ‘tarish qobiliyati yuqori bo 'Igan konstruksiya optimal konstruksiya hisoblanadi. Masalaning yechilishi. Ma’lumki, egiluvchi balkaning kuchlanishi qu yidagi formuladan aniqlanadi: M cr = — W ’ bu yerda: M - eguvchi moment; W - kesim yuzasining qarshilik momenti. 14.4-rasm. a) daraxt ko'ndalang kesimi; b) variantlar; d) optimal variant Masalaning matematik modeli. G‘o ‘Iadan shunday to‘rtburchakli to‘sin qirqib olinsinki, uning oMchamlari (b,h) konstruksiyaning eng ko‘p yuk ko‘tarishini ta’minlasin. Buning uchun ekstremal optimallashtirish usulidan foydalanamiz. W ------>W 8 ------ max min Bu yerda w = kbh2 > Masalaning cheklov sharti quyidagicha b , h Masalani yechish uchun 14.4-rasmda ko‘rsatiIgan b va h oMchamlarining o‘zaro bogMiqligidan b2 + h2 = D 2 = 4 R 2 foydalanib, optimallashuvchi oMchamlar munosabatini aniqiaymiz: b2 =4 R2 - h 2, b = ^ 4 R 2- h 2 Qabul qilingan maqsadli funksiyaga topilgan bogManishlarni kiritib qu- yidagiga ega boMamiz; W = kbh2 = kb(y/4R2 - b 2) = kb(4R2 - b 2) = 4R2kb - kb3 Ekstremal optimallashtirish usulidan foydalanib, maqsad funksiyasidagi b - oMchami bo‘yicha hosila olamiz va uni nolga tenglaymiz: AW A b - 4kR2 - 3kb2 = 0 4 R 2 2 R bundan bn - J —— - — j= ekanligini aniqiaymiz. j Balandlikning eng optimal qiymati quyidagiga teng boMadi: hTS= y [ 4 ¥ - b 2 = ^ 4 R 2 - ^ = 2 R ^ Optimal oMchamlarni maqsadli funksiyaga kiritib, maksimal qarshilik momentini topamiz: Wmax=kbh2 Demak, keltirilgan masalada optimal yechim: balandlik bo‘yicha h opt. va eni bo‘yicha b opt. topildi, shu yechim balkaning yuk ko‘tarish qobi- liyati eng yuqori boMishini ta’minlaydi.. 338 14.5.2. Siqiluvchi sterjenning maqbul (optimal) yechimini aniqlash (3-blok) Siqilayotgan elementning o ‘qi bo‘yicha a) ko‘ndalang kesimi o'zgarishini hisobga olib, eng yengil konstruksiya loyihasi tuzilsin. Rasmda-konstruksiyaning turi (14.5 a), hisoblash sxemasi (14.5 b), kuch va kuchlanish (14.5 d) epyu ralari hamda kesim yuzasini 07 o ‘qi bo‘yicha o'zgarishi 14.5-rasmda keltirilgan. Masalaning matematik modeli: siqiluvchi konstruksiyani eng yengil, ya’ni eng arzon, eng haj- mi kichik varianti topilsin, ya’ni P( A) ~ C( A) ~ V( A) ------»min cheklov sharti; <7<[< t ] - mustahkamlik sharti. Loyihalash maqsadida hisoblash sxemasida o‘q o‘tkazib, muvozanat tenglamasini tuzamiz, ya’ni: £ У = 0 , - P - q y - N y = 0 Bu yerda N y = - { p + qy), Epyura M 0 < y < h . Mustahkamlik shartidan kelib chiqqan holda opti mal kesim yuzasining o‘zgarish tenglamasi A.. = Ny P + qy bo‘ladi. -efy A V = р - яу ) » ^ И J и J p+qy И 339 % dyh b) * M И Optimal yechimga tegishli maqsadli funksiya, ya’ni optimal hajm "lyidagicha aniqlanadi. r(P + qy) Optimallik darajasi quyidagi formuladan aniqlanadi: И 1 1 Konstruksiya ko‘ndalang kesimi OY o‘qi bo'yicha o‘zgarmas bo‘lishi p + qh И bo‘ladi. Agarda optimal kesim topish kerak bo‘lsa, u holda kesim p \qdy A ~ j-^j+ j-^j formuladan aniqlanadi. Aniqlangan optimal konstruksiya eng yengil konstruksiya hisoblanadi (14.5-rasm, e ). 14.5.3. Statik noaniq ramalarning optimal yechimini aniqlash (4-blok). Optimallashtirish fanining turli mashinalar, qurilish konstruksiyalari, ayniqsa, uchish apparatlari va samolyot konstruksiyalarini loyihalashda ular ning og‘irligini kamaytirishda ahamiyati katta. Quyida amaliyotda keng qoMlaniladigan statik noaniq ramalarni optimallashtirish usullari keltirilgan. Statik noaniq ramalar turli materiallardan 2У ishlanishi mumkin, masalan metall, yog‘och, g temir-beton va h.k. Biz turli ko‘rinishdagi ram alarning optimal yechimi bilan tanishib chiqamiz. Yuqorida izox qilinganidek opti- malashtirish muammosi, masalaning matema tik modelini yaratishdan boshlanadi Optimallashtirish mezoni - konstruksi ya narxi; cheklov shartlari esa I - mus tahkamlik sharti; II - bikrlik sharti; III - us tuvorlik shartlarini bajarish bilan bir qatorda ko‘ndalang kesim o ‘lchamlarini {J(bh)} ma’lum standartlarga mosligini ta’minlashdan iborat. Bunday shartlar asosida optimal konstruksiyaning loyihasi aniqlansin-ki, uning oMchamlari [J(bh)\ eng arzon konstruksiya- H 14.6-rasm. ga mos boMsin, ya’ni matematik model C (g) = (C, +C 2 +C3)- Cheklov sharti: g = EXJ\ / EZJ 2; ► min boMsin J = kbh b s [ b ] , h = [ h \ . bu yerda C,, C2, C3- rama elementlarining narxi; M - M - ko‘ndalang kesim oMchamlari. Ko'rilayotgan ramaning optimal bikrliklari nisbatini aniqlash lozim. Ramaning geometrik oMchamlari (H , L ) , materialning fizik va mexanik tavsiflari berilgan deb olib, elementlar bikrliklari nisbatini (El)ns belgilaymiz. Agar statik noaniq sistemalar tengalamalari sistemasini tahlil qilsak, El t laming o‘miga, ularning nisbatlari g - qatnashayotganini ko‘ramiz. Ko‘ndalang kesim qabul qilinayotganda har bir elementning xarakterli kesimlarida hosil boMuvchi eng maksimal eguvchi moment qatnashadi. Demak, berilgan misol uchun optimallashtiriluvchi mezonning ifodasi quy idagi ko‘rinishga keladi: C(g) = max(M, v M 2) • 2H ■ C0 + max(Af3 v M4 )L ■ CQ. Bu yerda: M 2 = М ъ — M p Shu ramaning bikrliklari nisbatining optimal qiymati M np ~ M p sharti asosida topiladi: _ 3 H S(m - 2L va berilgan masala mezonining eng kichigiga mos keladi. Bu esa C-narx ham eng samarador yechimni taminlaydi, degan so‘z. Bikrliklari bir xil boMgan elementlar uchun {EJ)X =( EJ) 2, g = l. Misol uchun topilgan mezon qiymatini optimal yechim me’zoni miqdoriga so- lishtirsak, erishilgan samara 6,66 % ga tengdir. 14.6. Konstruksiyalarning ko‘pmezonli (vektorli) optim allashtirish masalalarini yechish Ixtiyoriy obyektni (bino, inshoot, uchish apparatlari, mashinalar) Ioyi- halash ko‘p mezonli optimallashtirish masalalariga (КОМ) kiradi. Shu obyekt bo‘yicha eng optimal yechimni topishda har bir mezonga samarali qiymat bera oladigan parametrlami aniqlash lozim boMadi. Masalaning bunday toi- fasi optimallashtirishning vektorli masalasi deb ataladi va «Operatsiyalar- ni tadqiq qilish» fanining qoidalari asosida yechiladi. Ko‘p mezonli masalaning matematik modeli quyidagi ko‘rinishga ega: X = 0 - ' [ o p t C { x ) \ , x e £ l x (14.2) bu yerda: С(дг) - ko‘p mezonli vektor, ya’ni )}; Ф(С) - ko‘p mezonli funksiya; x - boshqaruvchi, noma’lum parametr; W - ruxsat etilgan maydon, ya’ni cheklov shartlari. Konstruksiyalami ko‘p mezonli optimallashtirish masalasini yechishga doir muammolaming tugMlishi ma’lum murakkabliklami keltirib chiqaradi. Ko‘p mezonli masalalar yechimini topishdagi yondashuvlar quyidagilarga boMinadi: - KOMni dolzarb mezonlami f ( x ) bir funksiyaga Ф(С) keltirish yo‘li bilan = E a(C (x ); - Mezonlaming xarakterli nuqtalari bo‘yicha ulami aproksimatsiya qi- lish yoMi bilan Ф (*) = ^ [(C , ( x ) , C2 (x)...C2 (x) ) ] . Bu yerda a - funksiyaning proporsionallik koeffitsienti, xususan biz ko'rayotgan masalada a - ahamiyatlilik koeffitsienti. Birinchi yondashuv skalyar - bir mezonli masalaga mos tushib, fanda yetarli darajada o‘rganilgan va bu masala mavjud usullar yordamida miq- dorlarini kiritish asosida yechilishi mumkin. Bu yondoshishni hamma me zonlaming oMchamlari bir xil boMib o‘zaro amallar bajarilishi bor shartda- gina bajarish mumkin. Ikkinchi yondashuv - optimallashtirishning vektorli masalasini yechish ma’lum qiyinchiliklarga ega. Bu masalada mezonlar turli oMchamlarga, ahamiyatga, bogManishlarga ega boMishlari mumkin va ulami birinchi yon dashuv asosida hisoblab boMmaydi. Bu yondashuvda har bir mezonning lokal optimal yechimidan foydalaniladi, bu yechimlar asosida aproksimatsiyalovchi ko‘p mezonli masalaning umumiy funksiyasi quriladi va shu funksiyaning maydonida optimal yechim aniqlanadi. Bunday masalaning samarali yechimlar yuzasini grafikda ko‘rish va uning tahlilini ko‘rsatish uchun avval oddiy ikki mezonli vektorli optimal lashtirish masalasini ko‘rib o‘tamiz. Aytaylik, qidirilayotgan КОМ yechimi har bir mezonning alohida optimal yechimi boMgan A( x ' ) , B( x *) nuqta lar orasida yotadi. Boshqa samarali nuqtalar ahamiyatlilik koeffitsientlari yordamida topiladi. 14.7-rasmda ikkita C,(x) va C2(x) funksiyalarning relyefi keltirilgan va ularning minimal qiymatlari .4(1.5; 1.5) da Г,(х’), Б(2.0;1.5) da Г2(х’) larda aniqlanadi. Ikkala funksiya ekvivalent ( « ,= « , ) boMganda KOMning optimal yechimi A vj В kelishuv egri chizigMda yotadi, ya’ni optimal yechim Г3 (1.667; 1.5) nuqtalarda aniqlanadi. Д 1.5;1.5) Г 3(1.667; 1.5) 5(2.0; 1.5) Г 2 = (1.58; 1.5) Г3 =(1.76; 1.5) 14.7-rasm. F unksiyalar relyefi. Agar bir nechta mezonli holni ko‘rib o ‘tadigan bo‘lsak, shuni aytish mumkinki, lokal minimal qiymatlar kelishuv yechimlar maydonining che garaviy nuqtalari hisoblanadi. 14.8-rcism. Funksiyani aproksim atsiyalash maydoni To‘rt mezonli masalada qidirilayotgan yechim An A2,A3,A 4 nuqtalar (14.8-rasm) ichida boMadi, agar shu maydon yanada qisqartirilsa, yechim В[, В2,В3, ВЛ nuqtalardan tashqariga chiqmaydi. Bu maydon yechim qidiri layotgan Paretto yuzasi - Qn hisoblanadi. Ko‘rinib turibdiki, samarali yechimlar maydonini sekin asta qisqartirish va shu asosida kerakli yechimni tezda topish mumkin. Ko‘rilayotgan mi- solda qidirilayotgan yechim avval 0,2 - 3,0 oraliqda boMgan boMsa, keyin- chalik qisqartirish asosida 0,66+2,66 oraliqda yotadi. Bu shuni anglatadiki, agar birinchi muammoni yechsak, unda qidirilayotgan yechimni samarali yechimlar orasidan topsak boMadi. Keltirilgan misollardan kelib chiqqan holda, har bir optimallashtirish mezonining ekstremal qiymati joylashgan nuqtalar asosida aproksimatsiya- lash metodi bilan samarali Paretto yuzasini aniqlash va qo'shimcha shart yordamida ko‘p mezonli optimal masalaning yechimini A ( X ) ni topish mumkinligini ko‘rdik. Bu g‘oyani matematik ifodasini ko‘rsatish uchun quyidagi tahlilni keltiramiz. Ko‘p mezonli optimallashtirish masalasini yechish uchun X o‘zgaruvchini C, vektorga ta’sir qilish darajasini hisobga olgan yechimni aniqlashda aprok- simatsiya usulini ko‘rib chiqamiz. Bu usul juda sermashaqqat va ahamiyatli bosqich hisoblangan Paretto Q" yuzasini qurishga yordam beradi. Qidirilayotgan yechim berilgan mezonlar ichidagi samarali Paretto yechi mi hisoblanadi va kelishuv yechimlar sohasidan topilishi mumkin. Paretto yuzasini <£> (x*) mezonlarning lokal optimal yechimlari asosida qurib, bu yuzachadan ko‘p mezonli masalaning optimal yechimini quyidagi shart asosida aniqlash mumkin: VC( jc * ) O - / ) = 0 (14.3) Bu ko‘p mezonli masalaning haqiqiy funksiyasi Ф(С) dan biz aproksi- matsiyalab qurgan funksiya Ф(х) farqini 0 ga tengligini ifodalaydi degan so‘z, ya’ni Ф(С) - Ф(л-) = VC(x‘) ( X - X ’) = 0 . (14.4) Aproksimatsiya yuzasidagi qidirilayotgan optimal yechimni belgilovchi A(x') nuqta koordinatalari (14.4) tengliklar sistemasini birgalikda yechish orqali topiladi. , ACnx I + + AC/i/+1 )^i + ^ C hh_]Xh A C,2 + E (ДС,,_, + Д C,,+l) + ACV,_, (14l5) bu yerda VC,, = C , ( / ) - C 200, VC2, =С 1;(л-)-С2,(д-*). Keltirilgan formula KOMning talablarini va h.k. ni hisobga oladi va uni juda murakkab masalalarni yechishda ham qo‘llasa boMadi. Agar mezonlar o‘zaro taqqoslab boMmaydigan, turli masshtabga va oMchamga ega boMsalar u holda mezonlarga ahamiyat koeffitsientlari kiri- tilib, ko‘p mezonli masalaning samarali yechimi quyidagicha aniqlanadi: bu yerda X - ichki ahamiyat koeffitsienti. Agar КОМ ikkita hal qiluvchi mezon orqali ifodalanishi mumkin boMsa, u holda X = A,a, AC,-,** + A2a 2AC2lx'2 A]a lACr + /^а2ДС21 Loyihalash amaliyotida taklif qilinayotgan (14.6) formula qulayligi va soddaligini ko‘rsatdi. Bu esa ixtiyoriy murakkablikdagi va tartibdagi ko‘p mezonli masalalarni xarakterli ko‘rsatkichlari bo‘yicha qidirilayotgan opti mal yechimni aniqlash imkonini beradi. 1-misol. Nazorat uchun bir masalani ko‘rib chiqamiz. Quyidagi para- metrlarga ega boMgan shamirli sterjenli oddiy sistema berilgan: Rr = 200 мн / n r , Ri. = \ 5 0 mh ! m1, [F] = 0.707 snr = l.O.w 0,0 -100,0 мн 50,0 -70,0 мн P I P i 4.9-rasm. O ddiy sterjenli sistem a Download 78.98 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|