Materik fazoda yaqinlashish to`la metrik fazolar

4.2. Yaqinlashuvchi ketma-ketliklar va ularning xossalari.
1-teorema. Yaqinlashuvchi ketma-ketlik faqat bitta limitga ega.
Isboti. Faraz qilaylik, {x_n} ketma-ketlikning limiti ikkita, ya’ni x_nx va x_ny, xy bo’lsin. U holda metrikaning uchburchak aksiomasiga ko’ra,
0  (x,y)  (x,x_n)+(x_n,y)
bo’ladi.
Ammo, bu tengsizlikning o’ng tomoni n da 0 ga intiladi, demak, (x,y)=0, bundan x=y kelib chiqadi.
2-teorema. (x,y) metrika x va u elementlarning uzluksiz funksiyasi, ya’ni x_n x va y_n u bo’lsa, u holda (x_n ,y_n)  (x ,y) bo’ladi.
Isboti. Avval ixtiyoriy to’rtta x, y, z, uX elementlar uchun
|(x,y)-(z,u)| (x,z)+(y,u) (1)
tengsizlikning o’rinli ekanligini isbotlaymiz.
Uchburchak aksiomasidan foydalanib,
(x,y) (x,z)+(z,y)  (x,z)+(z,u)+(u,y) (2)
tengsizliklarni yozish mumkin. Bundan
(x,y) - (z,u) (x,z) +(u,y)
Bu tengsizlikda x, y larni mos ravishda z, u lar bilan almashtirib,
(z,u) - (x,y) (x,z) +(u,y) (3)
tengsizlikka ega bo’lamiz. (2) va (3)dan (1) kelib chiqadi.
(1) tengsizlikda z va u ni mos ravishda x_n va y_n bilan almashtirilsa,
|(x,y) - (x_n,y_n)| (x,x_n) +(y,y_n)
tengsizlik hosil bo’ladi. Bu tengsizlikning o’ng tomoni, teorema shartiga ko’ra nolga intiladi, bundan esa (x_n ,y_n)  (x ,y) kelib chiqadi.
Quyidagi teorema ravshan.
3-teorema. Agar {x_n} ketma-ketlik x ga yaqinlashsa, u holda bu ketma-ketlikning ixtiyoriy { } qism ketma-ketligi ham shu x ga yaqinlashadi.