Mavzu: Algebraik va transtendent tenglamalarni taqribiy yechish

• oddiy ketma-ketlik (iterasiya);
• oraliqni teng ikkiga bo’lish;

---

• urinmalar (Nyuton);
• vatarlar (xord) va boshqalar
Sanab o’tilgan usullardan oraliqni teng ikkiga bo’lish va vatarlar usuli to’g’ri
tanlangan oraliqlarda ko’tilgan natijalarni uzoqroq vaqt sarflab bo’lsa ham
aniqlab beradi. Urinmalar va oddiy ketma-ketlik usullari esa mos ravishda
to’g’ri tanlangan boshlang’ich qiymat va |
(x)|<<1 shartda o’ta tezlik bilan
taqribiy yechimni zarur aniqlikda topish imkoniyatini yaratadi.
2. Oraliqni teng ikkiga bo’lish usulining ishchi algoritmi va
dasturi
Tenglamaning e aniqlikdagi (e-o’ta kichik son, yechimni topish aniqligi)
taqribiy-sonli yechimini (a;b) oraliqda topishni quyidagi algoritm bo’yicha
tashkil qilamiz:
• 1. Berilgan (a;b) oraliqni o’rtasini aniqlaymiz.
• 2. Yechimni [a;c] yoki [c;b] oraliqdaligini f(a)
f(c)<0 shartidan foydalanib
aniqlaymiz.
• 3. Shartni qanoatlantiradigan oraliqni yangi oraliq sifatida olamiz va uni
yanateng ikkiga bo’lib, yuqoridagi ishlarni yana takrorlaymiz.
Xulosa qilib aytganda, biz tanlab olayotgan kesmalarda tenglamaning
taqribiy ildizi yotadi. Demak, kesmalarni toraytirib borar ekanmiz.
Natijada, qandaydir qadamdan so’ng tenglamaning aniq yoki talab
qilingan aniqlikdagi taqribiy ildizini hosil qilamiz.

---

3. Tenglamalarni yechishning iteratsiya usuli
Berilgan f(x)=0 tenglamani unga teng kuchli bo‘lgan x=𝜓(x) ko‘rinishdagi
tenglamaga keltiramiz.
2-teorema. Aytaylik,
1)
𝜓 (x) funksiya [a,b] oraliqda aniqlangan va differensiallanuvchi
bo‘lsin;
2) 𝜓 (x) funksiyaning hamma qiymatlari [a,b] oraliqqa tushsin;
3)[a,b] oraliqda 
𝜓 
(x)

q <1 tengsizlik bajarilsin.

---

Bu holda [a,b] oraliqda x= 𝜓 (x) tenglamaning yagona x=t yechimi
mavjud va bu yechim. 
formulalar bilan aniqlanadi.
Berilgan f(x)=0 tenglamani unga teng kuchli bo‘lgan x= 𝜓 (x) tenglama 
uchun yaqinlashish sharti bajarilganda yaqinlashish jarayonini quyidagi 
shakillar misolida ko‘rish mumkin.
Berilgan f(x)=0 tenglamani unga teng kuchli bo‘lgan x= 𝜓 (x) tenglama
uchun yaqinlashish sharti bajarilganda yaqinlashish jarayonini quyidagi
shakillar misolida ko‘rish mumkin. Bu yerda a va b rasmlar yaqinlashuvchi,
c rasm uzoqlashuvchi va t0 qiymat [a,b] oraliqda yotuvchi ixtiyoriy son
bo‘lib, yechimning 0-yaqinlashishi, ti – ni yechimning i – yaqinlashishi deb
yuritiladi.
Bu teorema asosida tenglama ildizini quyidagicha aniqlaymiz.
1) f(x)=0 tenglamaning yagona ildizi yotgan [a,b] kesmani biror (masalan,
grafik) usul bilan aniqlaymiz.
2)[a,b] da f(x) ning uzluksizligi va f(a).f(b)<0 shart bajarilishini tekshiramiz.

---

3)Tenglamani x=𝜓 (x) ko‘rinishga keltirib, 𝜓 (x)
[a,b] ekanligini hamda [a;b]
da 𝜓'x mavjudligini tekshiramiz va q = max 
𝜓'x 
ni topamiz ; (x)
[a,b]
4) Agar q<1 bo‘lsa,
ketma-ketlikning boshlang‘ich yaqinlashishi
x0 uchun [a;b] ning ixtiyoriy bitta nuqtasi olamiz.
5) Ketma-ketlik hadlarini hisoblashni 
xn- xn-1 
< shart bajarilguncha
davom 
ettiramiz.
6) Ildizning taqribiy qiymati uchun xn ni olamiz.
Misol.

---