Agar G gruppa elementi g cheksiz tartibga ega bо‘lsa, g siklik gruppa cheksiz, agar g element n-tartibga ega bо‘lsa, g gruppa.n tartibga ega va . Cheksiz siklik gruppa g da yasovchi, g-1 va g lar bо‘lib, boshqa yasovchilar yо‘q. Agar g siklik gruppa tartibi n bshlsa, u holda gk yasovchi bо‘ladi, agar k va n lar о‘zaro tub bо‘lsa.
va lar * va 0 algebraik amallarga nisbatan gruppani tashkil qilsin.
Ta’rif. biyektiv akslantirish gruppani ga izomorfizmi deyiladi, agar ixtiyoriy uchun. shart bajarilsa va kabi yoziladi.
Ta’rif. Gruppani о‘zini о‘ziga izomorfizmi avtomorfizm deyiladi.
Misol 6. Agar siklik gruppaning g elementi n tartibli bо‘ladi, u holda bо‘ladi, agar k - n ga bо‘linsa.
Yechish: bо‘lsin. n va g element tartibi ekanidan, . U holda bu yerdan g ni tartibi haqidagi ta’rifga kо‘ra. va ekanidan n=0 va k,n ga bо‘linadi.
Teskarisi ga bо‘linsin. U holda . U holda .
Misol 7. Agar gruppa elementi tartibga ega bо‘lsa, u holda tartibga ega. Bunda ekanini isbotlang.
Abel Nilpotent gruppalar.
gruppada A va V gruppalar olingan. Shu gruppalarning о‘zaro kommutativ deb quyidagi tipdagi elementlardan hosil qilingan -gruppalar idealiga aytiladi. Bu elementlar a va v elementlar kommutatori deyiladi va (2)
Bunda dan olingan -ar amal.
multioperatorsiz gruppalar bо‘lsa, gruppaostilari о‘zaro kommutant lar mumkin bо‘lgan. kommutator bilan gruppada hosil qilingan normal bо‘luvchilar bо‘lishadi. Bunda a€A, v€V. Agar halqani qarasak, hamma vaqt nolga teng. (2) element esa Bu holatda halqaostilari о‘zaro kommutant ideal bо‘ladi. Bu ideal halqa ostida mumkin bо‘lgan barcha av va va kо‘paytmalar bilan hosil qilinadi. Bunda . Ideal ta’rifidan kelib chiqadiki, agar gruppadan olingan qismgruppa idealda saqlanadi va bu ideal dagi markali hosil qilinadi. Bu yerdan esa, agar gruppadan qism gruppalar. berilgan bо‘lsa, u holda
Do'stlaringiz bilan baham: |
