Multioperatorsiz gruppalarda о‘zaro kommutant komutatorlar bilan hosil qilingan qism gruppalar bilan ustma-ust tushadi. Bunda .
gruppani A va V qism gruppalar uchun (3)tenglik о‘rinli. Haqiqatdan ixtiyoriy v a uchun
Chunki qо‘shish bо‘yicha - ning onrmal bо‘luvchisi bо‘ladi. Boshqa tomondan ixtiyoriy -ar amal uchun va ixtiyoriy lar uchun shunga kо‘ra (4)dan
Navbatda
(4)ga kо‘ra esa
va ning ideali bо‘ladi.
Bu yerda natijada
ni hosil qilamiz. (4) va (5) dan.
kelib chiqadi. Ta’rifdan kо‘rinadiki о‘zaro komutant (ixtiyoriy gruppa bilan) G da ideal bо‘ladi. Bu esa, hususan uchun ham. Bu ideal gruppa kommutant bо‘ladi. gruppaning gruppaning -qism gruppa
(6) faqat shu shartdagina da ideal bо‘ladi. Haqiqatda, agar A-ideal da bо‘lsa, u holda barcha da saqlanadi.
Har bir qism gruppa kommutantni о‘zida saqlasa, u da ideal bо‘ladi.
gruppa abel gruppasi bо‘ladi, agar uning kommutanti nolga teng bо‘lsa.
Bu esa hususiy holda barcha lar uchun
Bu yerdan (7)
Demak, -abelgruppasi abel additiv gruppa. Har bir abelgruppa
da ideal bо‘ladi. Chunki .
gruppa faktor gruppasi abelgruppasi bо‘ladi.
Agar A о‘zida gruppa ni о‘zida saqlasa, -Abel gruppasi additiv Abel gruppasini tashkil qiladi. Boshqa tomondan har bir -ar amal hamda barcha lar uchun
(8)
gruppani har bir gruppaosti da ideal bо‘ladi. Chunki
gruppaning faktor gruppasi Abel gruppasi bо‘ladi. Agar A ideal kommutant о‘zida saqlasa, ya’ni (9)
Do'stlaringiz bilan baham: |
