Mavzu: aniq integral I. Kirish II. Asosiy qism

Aniq integral mavjud bo‘lishining zaruriy sharti
1-Teorema. Agar f(x) funksiya [a;b] da integrallanuvchi bo‘lsa, u holda bu funksiya [a;b] da chegaralangan bo‘ladi.

Isboti. Teskarisini faraz qilaylik. U holda f(x) funksiya [a;b] kesmaning _n bo‘linishiga mos [x_k-1,x_k] (k=1,2,…,n) kesmalarning hech bo‘lmaganda birida chegaralanmagan bo‘ladi. Masalan, funksiya [x_j-1,x_j] da chegaralanmagan bo‘lsin. Integral yig‘indini quyidagicha yozish mumkin:

S(_n )=A+f( )x_j ,
bunda A= ( )x_k+ ( )x_k .
[x_j-1,x_j] da f(x) chegaralanmaganligidan shunday [x_j-1,x_j] nuqta mavjudki, |f( )x_j| >|A|+ tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. U holda
|S(_n)| =|A+f( )x_j|  |f( )x_j|-|A| >|A|+ -|A|=
Demak,  0 da S(_n) bo‘ladi va bundan integral yig‘indining chekli limiti mavjud emasligi kelib chiqadi. Bu esa f(x) ning integrallanuvchi ekanligiga zid bo‘ladi. Bu qarama - qarshilik teoremani isbot qiladi.
Shuni ham aytish kerakki, ba’zi bir chegaralangan funksiyalar integrallanuvchi bo‘lmasligi ham mumkin, ya’ni funksiyaning chegaralanganligi uning integrallanuvchi bo‘lishi uchun faqat zaruriy shart bo‘lib, yetarli shart bo‘la olmaydi.
1.1 – misol. funksiya ixtiyoriy kesmada Riman ma’nosida integrallanuvchi ekanligini ko’rsating.
Yechilishi. kesmaning _n bo’linishini olamiz. Natijada kesma bo’laklarga bo’linadi va deb belgilaymiz. _n bo’linishga mos kelgan integral yig’indini tuzamiz:


ko’rinishda bo’ladi. Bundan