Mavzu: binomial differensiallarni integrali. Trigonometrik funksiyalarni integrallash

2.1.1-misol: Ushbu

integral hisoblansin.
Yechish.Bu integralda

almashtirishni bajaramiz. Unda

bo’lib,

bo’ladi.
Ravshanki,
.Demak,


_2.2 ko’rinishidagi integrallar.
(2.1.1) ko’rinishidagi integralda bo’lsin, bunda o’zgarmas sonlar bo’lib, kvadrat uchhad teng ildizlarga ega emas. (2.1.1) integral quyidagi

ko’rinishni oladi.
Quyidagi keltiriladigan uchta almashtirish yordamida (2.2.1) integral ratsional funksiya integraliga keltiriladi.

1. 
   bo’lsin. Bu holda (2.2.1) integralda
   

yoki
almashtirish bajaramiz. (2.2.2) tenglikni kvadratga ko’tarsak,

bo’lib, undan

bo’ladi. Agar

ekanini e’tiborga olsak, u holda (2.2.1) integral ushbu

ko’rinishni oladi.Bu tenglikning o’ng tomonidagi integral ostida turgan funksiya o’zgaruvchining ratsional funksiyasi ekani ravshandir.
Shunday qilib, (2.2.1) integralni hisoblash bo’lganda (2.2.2) almashtirish yordamida ratsional funksiyani integrallashga keltiriladi.
3 Binomial differensiallarni integrallash.
Ushbu

differensial ifoda binomial differensial deb ataladi, bunda o’zgarmas sonlar, ratsional sonlardir.
Binomial differensiallarning

integralni qaraymiz.
Ravshanki, bu integralni hisoblash ratsional sonlarga bog’liq. Mashhur rus matematigi П. Л. Чебишев ko’rsatganki, (2.3.1) integral quyidagi uchta

1. 
   butun son,
   
2. 
   butun son,
   
3. 
   butun son
   

holdagina ratsional funksiyalarning integrali orqali ifodalanadi.

1. 
   Bu holda ratsional sonlar (ya’ni kasrlar) maxrajining eng kichik umumiy bo’luvchisini orqali belgilab, (2.3.1) integralda almashtirish bajarilsa, integral ostidagi funksiya ratsional funksiyaga aylanib, (2.3.1) integral ratsional funksiyaning integraliga keltiriladi.
   
2. 
   Avval (2.3.1) integralda
   

almashtirish bajaramiz. Natijada (2.3.1) integral quyidagi

ko’rinishni oladi. Qisqalik uchun

deb belgilaymiz. Bu holda kasr sonning maxrajini bilan belgilab, (2.3.2) integralda

almashtirish bajarilsa, natijada integral ostidagi ifoda ratsional funksiyaga aylanib, yana (2.3.1) integral ratsional funksiya integralini hisoblashga keltiriladi.

3. 
   
   

Xulosa
1.Ratsional va irratsional funksiyalarni integrallashning turli xil usullarini ko’rsatib, oliy o’quv yurti talabalarining fikrlash qobiliyatini o’stirish . Bu kurs ish , kirish qismi va 2 bobdan iborat: l- bob da ratsional funksiyalarni integrallash haqida umumiy ma’lumot berilgan, jumladan, sodda kasrlar, ko’phad va uning ildizlari haqida, to’g’ri kasrlarni sodda kasrlar orqali ifodalash, sodda ratsional kasrlarni integrallash, ratsional kasr funksiyalarni integrallash, rekurrent formulaning kelib chiqishi haqida batafsil bayon qilingan bo’lib ularga doir bir qator misollar yechib ko’rsatilgan.
2.Kurs ishning ikkinchi bobida esa irratsional funksiyalarni integrallash turli xil usullar bilan alohida -alohida ko’rsatilgan, ular quyidagilardan iborat . Jumladan, ko’pgina adabiyotlarda irratsional funksiyalarni integrallashga doir misollar turli usullar bilan yechib ko’rsatilgan. Bundan tashqari oliy o’quv yurti talabalari uchun matematik analiz fanida uchraydigan ba’zi irratsional funksiyalarni integrallashning qulay va oson usullari atroflicha ko’rsatildi. Xususan, Eyler almashtirishlari, binomial differensiallarni integrallashga doir bir necha xildagi murakkab misollar yechib ko’rsatildi. Shuningdek, bitiruv malakaviy ishida oliy o’quv yurti adabiyotlaridagi “Ratsional va irratsional funksiyalarni integrallash” mavzusi to’liq tushintirildi va shu mavzuga doir misollarni turli xil usullarda yechib ko’rsatildi. Talabalarga tushintirilganda ham yuqoridagi usullardan kengroq foydalanilsa, osonroq o’zlashtirib oladilar.
Ushbu bitiruv malakaviy ishdan oliy o’quv yurti talabalari ratsional va irratsional funksiyalarni integrallash mavzusini o’rganishda keng foydalanishlari mumkin.