Mavzu: binomial differensiallarni integrali. Trigonometrik funksiyalarni integrallash

1)Kasrning maxraji ko’phad ko’rinishda yoziladi,
2)1.3.2- 1.3.3- teoremalardan foydalanib,

ni sodda kasrlarga yoyiladi,
3)Bu yoyilmaning o’ng tomonidagi sodda kasrlar yig’indisi umumiy maxrajga keltiriladi,
4)Natijada hosil bo’lgan,

ya’ni,

tenglikning ikki tomonidagi bir xil darajalari oldidagi koeffitsiyentlarini tenglashtirib, no’malum koeffitsiyentlarni topish uchun tenglamalar sistemasi hosil qilinadi.

1.3.1-misol.Ushbu

to’g’ri kasr sodda kasrlarga yoyilsin.
Yechish.Bu kasrning maxraji

bo’lgani uchun 1.3.2-teoremaga ko’ra

bo’ladi.Uni

ko’rinishda yozib, ushbu

tenglikka kelamiz. Ikki ko’phadning tengligidan foydalanib,ushbu

sistemani hosil qilamiz va uni yechib

bo’lishini topamiz. Demak,



IRRATSIONAL FUNKSIYALARNI INTEGRALLASH.
2.1 ko’rinishidagi integrallar
Ushbu bobda ba’zi irratsional funksiyalarni integrallash bilan shug’ullanamiz. Avvalo ikki o’zgaruvchining ratsional funksiyasi tushunchasi bilan tanishamiz.
Ikki o’zgaruvchi berilgan bo’lib, bu o’zgaruvchilar yordamida

ko’paytmalarni tuzamiz. Bu ko’paytmalar tuzilgan ushbu

funksiya o’zgaruvchilarning ko’phadi deb ataladi, bunda o’zgarmas haqiqiy sonlar(koeffitsiyentlar).
hamda lar o’zgaruvchilarning ko’phadlari bo’lsin. Ushbu nisbat o’zgaruvchilarning ratsional funksiyasi deb ataladi va u orqali belgilanadi:

Endi o’zgaruvchilarning har biri o’z navbatida bitta o’zgaruvchining


funksiyalari bo’lsin. U holda funksiya va funksiyalarning ratsional funksiyasi bo’ladi. Masalan, ushbu

funksiya larning ratsional funksiyasidir, chunki

Xususan, va larning har biri o’zgaruvchining ratsional funksiyalari bo’lsa, u holda ushbu

Funksiya o’zgaruvchining ratsional funksiyasi bo’ladi. Haqiqatan, o’zgaruvchining ratsional funksiyalaridan iborat va lar ustida qo’shish, ayirish, ko’paytirish hamda bo’lish amallari bajarilsa, natijada o’zgaruvchining yana ratsional funksiyasi hosil bo’ladi.

1. 
   ko’rinishdagi funksiyalarni integrallash. Ushbu
   

integralni qaraylik, bunda funksiya larning ratsional funksiyasidir.
Agar funksiya ning ratsional funksiyasi bo’lsa, u holda ham o’zgaruvchining ratsional funksiyasi bo’ladi va ushbu

integral ratsional funksiyaning integrali bo’ladi. Bunday integrallar yuqorida batafsil o’rganildi.
Agar funksiya ning ratsional funksiyasi bo’lmasa, u holda ravshanki, ham o’zgaruvchining ratsional funksiyasi bo’lmaydi. Bu holda o’zgaruvchini almashtirish yordamida ni ratsional funksiyaga keltirish masalasi kelib chiqadi. Agar biz shunday almashtirish topsakki, natijada lar ning ratsional funksiyalari bo’lsa, u holda

bo’lib, integralni hisoblash ushbu

ratsional funksiyaning integralini hisoblashga keltiriladi.
Endi funksiyaning ba’zi bir konkret ko’rinishga ega bo’lgan hollarini qaraymiz:

1. 
   (2.1.1) integralda
   

bo’lsin, o’zgarmas sonlar, Bu holda (2.1.1) integral quyidagi

ko’rinishni oladi. Endi sonlardan tuzilgan determinant noldan farqli, ya’ni

deb qaraymiz. Agar

bo’lsa, sonlar, sonlarga proporsional bo’lib, nisbat ga bog’liq bo’lmaydi va funksiya o’zgaruvchining ratsional funksiyasi bo’lib qoladi. Bu holda (2.1.2) integral yuqorida o’rganilgan integralga keladi. Shunday qilib, keyingi mulohazalarda deymiz.
(2.1.2) integralda

almashtirish bajaramiz. Natijada


bo’lib, (2.1.2) integral ushbu

ko’rinishni oladi.
Demak, qaralayotgan

integralni hisoblash ushbu

ratsional funksiyaning integralini hisoblashga keladi.