Mavzu: Chiziqli boshqarish sistemalari. Tezkorlik masalalari Reja Kirish Asosiy qism

3-lemma. Agar (1) chiziqli sistema normal bo’lsa va V boshqaruvlar to’plami bittadan ko’p elementli bo’lsa, ixtiyoriy (2) boshlang’ich shart va t₁>t₀ uchun Q(t₁) erishish to’plami qat’iy qavariq bo’ladi.
Lemmaning isbotini [2] dan qarash mumkin.
2.Chiziqli tezkorlik masalasi. Optimallikning zaruriy va yetarli shartlari. (1) sistema uchun ikki nuqtali tezkorlikmasalasini qaraymiz: shunday u^*(t)U boshqaruvni topish talab qilinadiki, unga mos x^*(t) trayektoriya, t₀,t₁ vaqt momentlarida berilgan x⁰,x¹ nuqtalardan o’tsin, ya’ni

shartlar bajarilsin va t₁-t₀ o’tish vaqti minimal bo’lsin. Bunda u^*(t) ga optimal boshqaruv, x^*(t) ga optimal trayektoriya, ga optimal vaqt momenti (tezkorlikmomenti) deyiladi. esa masalaning yechimidir. Qaralayotgan masalani , qisqacha,
(12)
ko’rinishda belgilaymiz.
Quyidagi funksiyani kiritamiz:

Bu funksiya barcha t₀>t₁ nuqtalarda uzluksizdir.
1-teorema. Faraz qilaylik, (1) sistema regulyarlik shartini qanoatlantirsin. - (12) masalaning yechimi bo’lsin. U vaqtda:
1) optimal vaqt momenti
(13)
tenglamaning minimal ildiziga teng;
2) u^*(t) optimal boshqaruv,
(14)
maksimum shartini qanoatlantiradi, bu yerda vektor bo’lganda (13) ning chap tomonidagi ifodaning ixtiyoriy minimum nuqtasidir;
3) x^*(t) optimal trayektoriya
(15)
munosabatlarni qanoatlantiradi.
Isboti. 1) munosabat ga teng kuchlidir. Shuning uchun optimal vaqt momenti

ya’ni bajariladi. ρ(t) funksiyaning uzluksizligidan va ning optimalligidan bo’la olmasligi kelib chiqadi. Demak, va -(13) tenglamaning eng kichik ildizidan iborat.
2) u^*(t) optimal boshqaruv bo’lgani uchun, Koshi formulasiga ko’ra,
(16)
bajariladi. Endi (13) tenglikda deb uni bo’yicha ixtiyoriy c^* minimum nuqtasi uchun yozamiz:

Bu tenglikda x¹ o’rniga uning (16) dagi ifodasini keltirib qo’yib, quyidagi

tenglikni olamiz. Bu oxirgi tenglikda integral ostidagi funksiya manfiymas va t bo’yicha bo’lakli-uzluksiz bo’lgani uchun undan talab qilingan (14) munosabatni hosil qilamiz.
3) x^*(t) optimal trayektoriya (15) munosabat orqali bir qiymatli aniqlanadi.
Teorema isbotlandi.