Mavzu: Chiziqli boshqarish sistemalari. Tezkorlik masalalari Reja Kirish Asosiy qism

5-teorema (n intervallar haqida) [2]. Faraz qilaylik, (25) statsionar tezkorlikmasalasi uchun (27) shart bajarilsin, va A matrisaning barcha xos qiymatlari haqiqiy bo’lsin. U vaqtda ekstremal boshqaruv har bir koordinatasining o’zgarmaslik intervallari soni n tadan oshmaydi.
Misol. (30) masalada bo’lsin. Bu holda 5-teoremaning barcha shartlari bajarilgan bo’ladi, shuning uchun ekstremal boshqaruv, u=+1 va u=-1 qiymatlar qabul qiladi va o’tish nuqtasi bittadan ko’p emas, ya’ni o’zgarmaslik oraliqlari soni ikkitadan oshmaydi.
u=1 bo’lganda x₂=1 nuqtaning harakat tenglamasi -=-=-= ko’rinishda bo’ladi. Bu yerdan
(34)
bo’lishi kelib chiqadi. ularga mos harakat trayektoriyalari 2-3-rasmlarda keltirilgan.

2-расм. 3-расм.

Koordinatalar boshiga kelib tushuvchi AO,OV trayektoriyalarni ajratamiz (4-5-rasm).

4-расм. 5-расм.

Agar boshlang’ich x⁰ nuqta AO yoki OV yoy ustida yotsa, maksimum prinsipini qanoatlantiruvchi jarayon topilgan hisoblanadi. Aks holda (34) trayektoriyalar ichidan AO yoki OV orqali o’tadiganini aniqlaymiz. Natijada koordinata boshiga olib keluvchi

6-расм
va faza tekisligini to’ldiruvchi egri chiziqlar oilasini quramiz (6-rasm).
Bu chiziqlar oilasiga tegishli har bir egri chiziq (34) parabolalarning ikki bo’lagidan iborat bo’lib, ular maksimum prinsipini qanoatlantiradi. 4-teoremaga ko’ra, bu trayektoriyalar optimaldir. Koordinata boshiga yo’nalgan optimal harakat quyidagicha amalga oshadi:

Boshqaruvga (35) formula bo’yicha beriladigan qiymatlar nuqta AOV chiziqqa (yoki koordinitalar boshiga ) tushguncha saqlab qolinadi. nuqta AOV chiziqqa tushgan vaqt momentida boshqarishning qiymatini -1 dan +1 ga yoki aksincha o’zgartirib, x nuqta koordinata boshiga tushguncha saqlab qolinadi. Boshqaruvning qiymatlari o’zgaradigan AOV chiziq, o’tish chizig’i deb ataladi.
Endi deb, (35) formula bilan aniqlanuvchi funksiyani belgilaymiz. U vaqtda optimal boshqaruv qoida bo’yicha hosil qilinadi. x⁰ nuqta ixtiyoriy bo’lgani uchun, bu qoida optimal boshqaruvni barcha nuqtalarda formula bo’yicha quradi. Ana shunday qoida bo’yicha optimal boshqaruvni qurishga uning optimal sintezi deyiladi. Demak, (35) formula qaralayotgan misolda optimal boshqaruvning sintezini beradi. Optimal trayektoriya esa,

sistemani integrallash orqali quriladi.