Mavzu: Chiziqli boshqarish sistemalari. Tezkorlik masalalari Reja Kirish Asosiy qism

2-teorema. Faraz qilaylik, (1) sistema normallik shartini qanoatlantirsin. Agar u^*(t) boshqarish, x^*(t) trayektoriya va vaqt momenti 1-teoremadagi 1)-3) shartlarni qanoatlantirsa, -(12) tezkorlikmasalasining yechimi bo’ladi.
Isboti. ρ(t) funksiyaning ta’rifi va uning uzluksizligidan

ekanligi kelib chiqadi, ya’ni (13) tenglamaning minimal ildizi optimal vaqt momentini aniqlaydi. x^*(t) optimal trayektoriya (15) tenglik orqali bir qiymatli aniqlanganligi uchun, u^*(t) boshqaruvning optimalligini ko’rsatsak, yetarli bo’ladi.
(13) tenglikda deb uni bo’yicha ixtiyoriy s^* minimum nuqtasi uchun yozamiz:
(17)
Ekstremal prinsipga (2-lemma) va u^*(t) boshqaruv hamda x^*(t) trayektoriyalarning aniqlanishiga ko’ra,
(18)
tekislik Q(t₁) erishish to’plamining x^*(t₁) nuqtasiga o’tkazilgan tayanch tekislik bo’ladi.
(17) tenglik ko’rsatadiki, x¹ nuqta (18) tayanch tekislikda yotadi. -tezkorlikmomenti bo’lgani uchun bo’ladi. Agar bo’lsa, kesma Q(t₁) ning chegarasiga tegishli bo’lar edi. Ammo 3-lemmaga ko’ra, Q(t₁) qat’iy qavariq to’plam ekanligidan, bunday bo’lishi mumkin emas. Demak, ya’ni optimal boshqaruv bo’ladi.
Teorema isbotlandi.
Optimallikning zaruriy va yetarli shartlarini ifodalovchi 1-2-teoremalarga qo’shimcha qilib shuni aytish mumkinki, normallik sharti bajarilganda optimal boshqaruv (va demak, optimal trayektoriya ham ) yagona bo’ladi. Bu tasdiq (14) maksimum shartidan osongina kelib chiqadi.
3. Tezkorlik masalasi uchun Pontryaginning maksimum prinsipi.
Optimal boshqarish nazariyasida optimallikning zaruriy sharti Pontryaginning maksimum prinsipi ko’rinishida ifodalanadi. Quyida 1-teoremada keltirilgan zaruriy shartlarni maksimum prinsipi shaklida yozish mumkinligini ko’rsatamiz.
Quyidagi
(19)
funksiyani kiritamiz va (14) shartni
(20)
ko’rinishda yozamiz. (19) funksiya
(21)
qo’shma sistemaning yechimidir. Agar

Gamilton-Pontryagin funksiyasidan foydalansak, x^*(t) ning (15) ni, u^*(t) ning (14) ni va ψ^*(t) ning esa, (21) ni qanoatlantirishini,
(22)
(23)
(24)
ko’rinishda yozish mumkin. Agar bu sistemani yana bita,
(25)
munosabat bilan to’ldirsak, tezkorlikmasalasi uchun quyidagi maksimum prinsipiga ega bo’lamiz.