Mavzu: Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish Chiziqli tenglamalar sistemalarini yechishning Gauss va Kramer usuli

9-misol.

tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan yeching.

Yechish. Birinchi tenglamani (-4) va (-3) ga ko’paytirib mos ravishda ikkinchi va uchinchi tenglamalarga qo’shamiz:

,

ya’ni bo’ladi.

SHu bilan birinchi qadam tugadi.

Ikkinchi qadamda, birinchi tenglamani o’z o’rnida qoldirib, ikkinchi tenglamani (-7) ga bo’lib yozamiz:

Uchinchi tenglamadan noma’lumni yo’qotamiz, buning uchun ikkinchi tenglamani (-1) ga ko’paytirib uchinchi tenglamaga qo’shamiz:

Oxirgi tenglamadan ni topamiz. ni ikkinchi tenglamaga qo’ysak, yoki bo’ladi. larni birinchi tenglamaga quysak x₁=1 bo’ladi. SHunday qilib, .

Gauss usulining xususiyati shundan iboratki, unda sistemaning birgalikda masalasini oldindan aniqlab olish talab etilmaydi va:

1) sistema birgalikda va aniq bo’lsa, u holda usul yagona yechimga olib keladi;

2) sistema birgalikda va aniqmas bo’lsa, bu holda biror qadamda ikkita aynan teng tenglama hosil bo’ladi va shunday qilib, tenglamalar soni noma’lumlar sonidan bitta kam bo’lib qoladi;

3) sistema birgalikda bo’lmasa, u holda biror qadamda chiqarilayotgan (yo’qotilayotgan) noma’lum bilan birgalikda qolgan barcha noma’lumlar ham yo’qotiladi, o’ng tomonda esa noldan farqli ozod had qo

Bizga noma’lumli - ta chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin:

(1)

Bu sistema koeffitsientlaridan tuzilgan matritsa quyidagicha bo’ladi:

Biz faqat maxsusmas matritsa bo’lgan holnigina qaraymiz. (1) sistemaning chap tomonida matritsani

matritsaga ko’paytirishdan kelib chiqadigan satrli va bir ustunli matritsaning elementlari, sistemaning o’ng tomonida esa

matritsaning elementlari turibdi. SHu sababli ikki matritsaning tenglik ta’rifiga asosan, (1) ni quyidagicha

yoki, qisqacha (2) ko’rinishda yozish mumkin. Bu tenglamaga maritsaviy tenglama deyiladi. maxsusmas matritsa bo’lgani sababli, unga teskari bulgan matritsa mavjud, shu sababli (2) ni chap tomondan ga ko’paytiramiz:

, lekin , demak,